▶ 1. $\text{Aire}\left(\text{BCDE}\right)=L\times l=\text{BE}\times \text{BC}=\text{7 cm}\times \text{4,2 cm}=$ 29,7 cm².

▶ 2. a) ABE est un triangle rectangle en A tel que AB = 4,2 cm et BE = 7 cm.

Vu que deux longueurs des côtés de ce triangle rectangle sont connues, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du troisième côté :

BE² = AB² + AE²

7² = 4,2² + AE²

49 = 17,64 + AE²

AE² = 49 – 17,64 = 31,36

On en déduit que $\text{AE}=\sqrt[]{\mathrm{31,36}}\text{ cm}=$ 5,6 cm.

b) $\text{Aire}\left(\text{ABE}\right)=\frac{\text{AB}\times \text{AE}}{2}=\frac{\text{4,2 cm}\times \text{5,6 cm}}{2}=$ 11,76 cm².

▶ 3. a) D’après le codage de la figure, les droites (ED) et (AH) sont toutes les deux perpendiculaires à (CF), donc les droites (ED) et (AH) sont parallèles.

b) Dans les triangles AHF et EDF, on a les informations suivantes :

les points A, E et F sont alignés, tout comme les points H, D et F ;

les droites (ED) et (HA) sont parallèles.

On peut donc utiliser le théorème de Thalès :

$\frac{\text{EF}}{\text{FA}}=\frac{\text{ED}}{\text{AH}}=\frac{\text{DF}}{\text{FH}}$, soit $\frac{\text{7 cm}}{\text{FA}}=\frac{\text{ED}}{\text{AH}}=\frac{\text{DF}}{\text{FH}}$.

Il est possible de calculer AH si on connaît la valeur des longueurs FA et ED.

Valeur de ED : BEDC est un rectangle donc ses côtés opposés sont de même longueur. On en déduit que ED = BC = 4,2 cm.

Valeur de AF : E appartient à [AF] donc AF = AE + EF, soit AF = 5,6 cm + 7 cm = 12,6 cm.

Calcul de AH : grâce aux égalités du théorème de Thalès, on a :$\frac{\text{7 cm}}{\text{12,6 cm}}=\frac{\text{4,2 cm}}{\text{AH}}$.

On en déduit que $\text{AH}=\frac{\text{4,2 cm}\times \text{12,6 cm}}{\text{7 cm}}=$ 7,56 cm.