Triangles semblables

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2018 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Mai 2018

Exercice 7 • 16 points

Triangles semblables

mat3_1805_12_00C_07

On considère ci-dessus un triangle ABC rectangle en A tel que ABC^=30° et AB = 7 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.

1. Tracer la figure en vraie grandeur sur la copie. Laisser les traits de construction apparents sur la copie.

2. Démontrer que AH = 3,5 cm.

3. Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

4. Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC.

Les clés du sujet

Points du programme

Construction géométrique • Triangles semblables • Réduction.

Nos coups de pouce

1. Utilise une règle graduée, un compas et un rapporteur.

2. Utilise la trigonométrie dans le triangle BAH rectangle en H.

3. Applique, par exemple, la définition : « Deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure sont semblables. »

4. Écris les côtés proportionnels.

Corrigé

Corrigé

mat3_1805_12_00C_10

1. Construction de la figure en vraie grandeur.

On trace un segment [AB] de longueur 7 cm.

On trace un demi-cercle de diamètre [AB].

On trace la demi-droite d’origine B faisant un angle de 30° avec la demi-droite [BA). Cette demi-droite coupe le demi-cercle en H.

Enfin la demi-droite [BH) coupe la perpendiculaire en A à (AB) en C.

rappel

Dans un triangle ABH rectangle en H, sinABH^=côté opposéhypoténuse.

2. Dans le triangle ABH rectangle en H, nous avons sinABH^=AHAB soit AH=ABsinABH^ ou encore AH=7×sin30° c’est-à-dire : AH=3,5 cm.

3. Les triangles ABC, HAC et AHB sont rectangles. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus vaut 90°. Alors :

BAH^=90°30°=60° ; HAC^=90°60°=30° ; ACH^=90°30°=60°

Donc : BAC^=AHC^ = 90° ; ACB^=ACH^ = 60° ;

ABC^=HAC^ = 30°.

Les triangles ABC et HAC ont leurs angles deux à deux de même mesure. Ils sont donc semblables.

4. Puisque ces deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles de même mesure sont proportionnelles et

HAAB=HCAC=ACBC=k qui est le rapport de la similitude.

Mais HAAB=3,57=0,5, donc le triangle HAC est une réduction du triangle ABC dans le rapport 0,5.