Corrigé

▶ 1. Construction de la figure en vraie grandeur.

On trace un segment [AB] de longueur 7 cm.

On trace un demi-cercle de diamètre [AB].

On trace la demi-droite d'origine B faisant un angle de 30° avec la demi-droite [BA). Cette demi-droite coupe le demi-cercle en H.

Enfin la demi-droite [BH) coupe la perpendiculaire en A à (AB) en C.

▶ 2. Dans le triangle ABH rectangle en H, nous avons $\sin \widehat{\text{ABH}}=\frac{\text{AH}}{\text{AB}}$ soit $\text{AH}=\text{AB}\sin \widehat{\text{ABH}}$ ou encore $\text{AH}=7\times \sin 30°$ c'est-à-dire : $\boxed{\text{AH}=\mathrm{3,5} \text{cm}}$.

▶ 3. Les triangles ABC, HAC et AHB sont rectangles. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus vaut 90°. Alors :

$\widehat{\text{BAH}}=90°-30°=60°$ ; $\widehat{\text{HAC}}=90°-60°=30°$ ; $\widehat{\text{ACH}}=90°-30°=60°$

Donc : $\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{AHC}}$ = 90° ; $\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{ACH}}$ = 60° ;

$\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{HAC}}$ = 30°.

Les triangles ABC et HAC ont leurs angles deux à deux de même mesure. Ils sont donc semblables.

▶ 4. Puisque ces deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles de même mesure sont proportionnelles et

$\frac{\text{HA}}{\text{AB}}=\frac{\text{HC}}{\text{AC}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}=k$ qui est le rapport de la similitude.

Mais $\frac{\text{HA}}{\text{AB}}=\frac{\mathrm{3,5}}{7}=\mathrm{0,5}$, donc le triangle HAC est une réduction du triangle ABC dans le rapport 0,5.