▶ 1. Vérifier le résultat renvoyé par une fonction écrite dans le langage Python

Dans la fonction liste, à chaque passage dans la boucle, un terme de la suite est calculé et ajouté en fin de liste (la liste est vide au départ).

La boucle est exécutée n fois, car avec l’instruction for i in range(n), i prend les valeurs entières de 0 à n - 1.

liste(n) renvoie la liste [u₀, u₁, u₂, u₃, u₄, …, u_n-1], donc l’appel liste(6) renvoie la liste [u₀, u₁, u₂, u₃, u₄, u₅].

Calculons les premiers termes de la suite (on peut aussi utiliser le menu Suites de la calculatrice) :

u₀ = 0 ; u₁ = 3 × u₀ + 1 = 1 ; u₂ = 3 × u₁ + 1 = 4 ;

u₃ = 3 × u₂ + 1 = 13 ; u₄ = 3 × u₃ + 1 = 40 ; u₅ = 3 × u₄ + 1 = 121.

liste(6) renvoie donc [0, 1, 4, 13, 40, 121].

L’affirmation 1 est fausse.

▶ 2. Déterminer l’expression explicite du terme général d’une suite

On calcule $\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}$ pour n variant de 0 à 5 :

$\frac{1}{2}\times 3^0-\frac{1}{2}=0=u_0$ ; $\frac{1}{2}\times 3^1-\frac{1}{2}=1=u_1$ ; $\frac{1}{2}\times 3^2-\frac{1}{2}=4=u_2$ ;

$\frac{1}{2}\times 3^3-\frac{1}{2}=13=u_3$ ; $\frac{1}{2}\times 3^4-\frac{1}{2}=40=u_4$ ; $\frac{1}{2}\times 3^5-\frac{1}{2}=121=u_5$.

Pour n entier entre 0 et 5, on a $u_n=\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}$.

Montrons par récurrence que l’égalité « $u_n=\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}$ » est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation

On a vu que $\frac{1}{2}\times 3^0-\frac{1}{2}=0=u_0$ ; la propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que $u_n=\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}$.

Montrons que $u_{n+1}=\frac{1}{2}\times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$.

u_n+1 = 3u_n + 1, d’après l’hypothèse de récurrence :

$u_{n+1}=3\left(\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}\right)+1=\frac{1}{2}\times 3^{n+1}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}\times 3^{n+1}-\frac{1}{2}$.

La propriété est héréditaire.

Conclusion

D’après l’initialisation et l’hérédité, l’égalité « $u_n=\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}$ » est vraie pour tout entier naturel n.

L’affirmation 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la différence de deux termes consécutifs d’une suite

u₁ - u₀ = 1 ; u₂ - u₁ = 3 ; u₃ - u₂ = 9 ; u₄ - u₃ = 27.

Pour n = 0, n = 1, n = 2, n = 3, u_n+1 - u_n est une puissance de 3.

Pour n entier naturel quelconque, d’après le résultat précédent :

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\times 3^{n+1}-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\times 3^n-\frac{1}{2}\right)$

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\times 3^{n+1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 3^n+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\times 3^{n+1}-\frac{1}{2}\times 3^n$

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\times 3^n(3-1)=3^n$.

L’affirmation 3 est vraie.