Annale corrigée Exercice Ancien programme

Trompette en ut

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 3 • 5 points • 50 min

La trompette en ut

Les thèmes clés

Son et musique

 

pchT_1709_04_02C_01

Miles Davis (1926-1991)ph© David Redfern/Getty Images

Avec une trompette, le son est produit par la mise en vibration des lèvres du musicien. Il sélectionne ainsi la fréquence du son émis parmi les différents modes propres de vibration de l'instrument. Dans les graves en particulier, les fréquences de résonance sont éloignées les unes des autres. Les notes que le trompettiste peut jouer sont alors trop peu nombreuses. Les pistons permettent d'allonger la colonne d'air pour modifier la note fondamentale et couvrir toute la gamme chromatique.

document 1 Résonance d'une colonne d'air

Pour un tuyau ouvert, les extrémités correspondent à des ventres de vibration. On en déduit que dans le mode fondamental la longueur L du tube correspond à la moitié de la longueur d'onde :

L=λ02

Donnée

Célérité du son dans l'air :

v = 340 m ∙ s–1.

Mode fondamental (n = 1)

pchT_1709_04_02C_02

Harmonique de rang 2 (n = 2)

pchT_1709_04_02C_03

Harmonique de rang 3 (n = 3)

pchT_1709_04_02C_04

V : ventre de vibration 

N : nœud de vibration.

document 2 Description simplifiée de la trompette

pchT_1709_04_02C_05

ph© Furtseff/stock.adobe.com

La trompette peut être considérée comme une colonne d'air ouverte des deux côtés. L'action sur chaque piston provoque un allongement de la colonne d'air. La fréquence du fondamental de l'instrument est abaissée d'une valeur qui dépend de cet allongement. Il en résulte une note plus basse que la note jouée par l'instrument, obtenue en n'appuyant sur aucun piston.

À partir des combinaisons des positions de pistons, on obtient différentes notes.

On remarquera que la 1re et la 3e coulisse sont équipées de bagues qui permettent d'affiner la longueur des coulisses.

document 3 Pistons et coulisses (trompette en Ut)

En enfonçant un piston, le trompettiste rallonge la colonne d'air de la longueur de la coulisse associée. Les trois coulisses ont des longueurs différentes.

pchT_1709_04_02C_06

document 4 La gamme chromatique tempérée

Note

do2

do2#

ré2

ré2#

mi2

fa2

fa2#

sol2

sol2#

la2

la2#

si2

do3

f (Hz)

131

139

147

156

165

175

185

196

208

220

233

247

262

Le but de cet exercice est d'étudier la conception d'une trompette à trois pistons.

Pour une trompette, c'est l'harmonique de rang 2 qui donne la fréquence de la note jouée.

1. questions préliminaires 10 min

1 Donner la relation entre la longueur du tuyau sonore et la longueur d'onde correspondant à la note jouée. (0,5 point)

2 Une trompette en Ut joue un do3 quand on appuie sur aucun piston. Montrer que la longueur de la colonne d'air est = 130 cm. (0,5 point)

2. Résolution de problème 40 min

Expliquer l'intérêt des coulisses et calculer la longueur de chacune des trois coulisses. Expliquer l'intérêt des bagues sur les coulisses 1 et 3 qui permettent d'affiner la longueur des coulisses. (4 points)

L'analyse des données ainsi que la démarche suivie seront évaluées et nécessitent d'être correctement présentées. Les calculs numériques seront menés à leur terme avec rigueur.

Les clés du sujet

Comprendre les documents

Document 1

Le schéma de ce document explicite ce qui se passe dans un tuyau ouvert en termes de vibration sonore. Il montre notamment la relation entre la ­longueur d'une colonne d'air et la longueur d'onde de la note « sélectionnée » par le tuyau, pour le mode fondamental ainsi que pour les deux modes suivants. La relation mathématique entre la longueur d'onde de la note et la longueur du tuyau dans le mode fondamental est aussi donnée.

Document 2

Ce document vous aide à comprendre le fonctionnement simplifié d'une trompette. Il vous donne le vocabulaire technique de base :

piston/coulisse/bague.

Document 3

Le schéma de ce document vous permet de comprendre l'intérêt des ­coulisses : l'air parcourt un tuyau plus long lorsqu'un piston est enfoncé car l'air passe dans une coulisse supplémentaire. Le tableau donne la ­correspondance entre le(les) piston(s) enfoncé(s) et la note jouée.

Document 4

Le tableau de ce document donne la correspondance entre les notes et les fréquences dans la gamme chromatique tempérée.

Questions préliminaires

1 Utilisez la relation donnée dans le document 1 entre la longueur d'onde de la note et la longueur de la colonne d'air.

2 Reprenez la relation de la question précédente (L = λ) et utilisez une valeur du tableau du document 4.

Résolution de problème

Lisez la  fiche 7  de la boîte à outils puis suivez les étapes ci-dessous.

Dans le tableau du document 3, trouvez la note jouée avec le 2e piston enfoncé uniquement.

Retrouvez, avec la relation trouvée en réponse à la 2e question préliminaire (partie 1) et le document 4, la longueur du tuyau correspondant à cette note.

La longueur trouvée est celle du tuyau entier : le corps de la trompette (sans piston enfoncé) + la 2e coulisse. Vous pouvez donc déterminer la longueur de la 2e coulisse car, avec la relation trouvée en réponse à la 2e question préliminaire, vous connaissez déjà la longueur du corps de la trompette.

Répétez les trois premières étapes pour trouver la longueur de la ­première coulisse.

Utilisez la note sol2# pour trouver la longueur de la 3e coulisse (ici il y a deux pistons enfoncés donc il faut ajouter deux longueurs de coulisse à celle du corps de base de la trompette).

L'intérêt des bagues est d'ajuster la valeur de la longueur pour obtenir la fréquence souhaitée. Comparez la fréquence de la note la plus grave à celle jouée avec les trois longueurs de coulisses ajoutées.

Corrigé

1. questions préliminaires

Ici, comme régulièrement dans les exercices de spécialité, les questions préliminaires sont posées pour vous aider et vous mettre sur la voie. Elles ne sont d'ailleurs pas notées séparément du problème à résoudre.

1 Utiliser un document pour trouver une relation mathématique

Première méthode

L'énoncé nous apprend que « pour une trompette c'est l'harmonique de rang 2 qui donne la fréquence de la note jouée ». Or, le schéma du document 1 nous montre que, dans le cas de l'harmonique de rang 2, la longueur L du tube d'air est égale à la longueur d'onde λ, d'où :

L = λ.

Deuxième méthode

D'après le document 1, on a la relation L = λ02 entre la longueur L du tube et la longueur d'onde du mode fondamental. Or, l'énoncé nous apprend que « pour une trompette c'est l'harmonique de rang 2 qui donne la fréquence de la note jouée » et la longueur d'onde de l'harmonique de rang 2 est deux fois plus petite que celle du mode fondamental (car, par définition, la fréquence du rang 2 est deux fois plus grande que celle du fondamental).

Donc, la longueur d'onde de la note jouée par une trompette est :

λ=λ02 d'où λ0 = 2 × λ1.

On obtient bien : L = 2×λ12= λ1.

La longueur d'onde de la note jouée est égale à la longueur du tube.

2 Trouver la longueur d'une colonne d'air

à retenir

La relation λ = v × T est au cœur de nombreux sujets d'acoustique et de propagation des ondes donc il faut la connaître. Pour ne pas faire d'erreur, étudiez en les unités :

mètre = mètreseconde× seconde

La note do3 possède une fréquence égale à 262 Hz, or la longueur d'onde vérifie la relation :

λ = v × T = vf donc λ=340262=1,30m

De plus, d'après la question précédente, L = λ = 1,30 m. Donc, lorsqu'aucun piston n'est actionné, la longueur L de la colonne d'air est 1,30 m.

2. Résolution de problème

Expliquer l'intérêt des coulisses

L'intérêt des coulisses sur une trompette est simple : s'il n'y en avait pas, la trompette aurait une longueur fixe et par conséquent ne jouerait qu'une unique note. À l'aide des coulisses, on peut modifier la longueur de la colonne d'air et, par suite, la fréquence du son et la valeur de la note jouée.

Calculer la longueur de chaque coulisse

D'après le document 2, les notes do3, la2#, si2 et sol2# correspondent respectivement à aucun piston enfoncé, le 1er piston enfoncé, le 2e piston enfoncé et les pistons 2 et 3 enfoncés. On peut donc écrire que :

la note do3 est effectuée lorsque la colonne d'air correspond à celle de la trompette sans coulisse 

la note la2# est effectuée lorsque la colonne d'air correspond à celle de la trompette augmentée de la 1re coulisse 

la note si2 est effectuée lorsque la colonne d'air correspond à celle de la trompette augmentée de la 2e coulisse 

la note sol2# est effectuée lorsque la colonne d'air correspond à celle de la trompette augmentée de la 2e et de la 3e coulisse.

La note la2# possède une fréquence égale à 233 Hz, donc la longueur de la colonne d'air correspondante est :

La = λ = Vfa = 340233 = 1,46 m

Cette longueur comprend la longueur de la colonne « de base », égale à 1,30 m, et celle de la 1re coulisse. D'où on en déduit la longueur de la 1re coulisse :

L1 = 1,46 – 1,30 = 0,16 m = 16 cm

De la même façon, on peut déterminer la longueur de la deuxième coulisse à l'aide de la fréquence du si2 :

Lb = λ = Vfb = 340247 = 1,38 m d'où L2 = 1,38 – 1,30 = 0,08 m

La deuxième coulisse a donc une longueur L2 égale à 8 cm.

Enfin, pour la troisième coulisse, on peut dire que la note sol#2 est obtenue avec une colonne d'air correspondant à la longueur de base L rallongée par la deuxième, L2, et par la troisième coulisse L3. La longueur totale est :

Lc = Vfc = 340208 = 1,63 m

D'où la longueur de la troisième coulisse est :

L3 = Lc – L – L2 = 1,63 – 1,30 – 0,08 = 0,25 = 25 cm.

Expliquer l'intérêt des bagues

info

Cette dernière partie est particulièrement difficile et ne devrait pas compter énormément pour la note d'ensemble sur 5.

Comme le fait remarquer l'énoncé, les bagues permettent d'affiner les longueurs des coulisses.

Prenons, par exemple, la note fa2# qui possède une fréquence égale à 185 Hz, d'après le document 4. Cette fréquence correspond à une longueur de colonne donnée par : L = vf = 340185 = 1,84 m

Or le document 3 nous apprend que cette note se joue en enfonçant les trois pistons donc en utilisant les trois coulisses, ce qui, d'après nos calculs, permet d'obtenir une colonne de longueur :

L + L1 + L2 + L3 = 1,79 m

Il faut donc 5 cm supplémentaires à cette dernière colonne d'air (1,79 m au lieu de 1,84 m), pour effectuer un fa2 (note de fréquence 185 Hz), ce que les bagues vont permettre puisque leur rôle est d'affiner les longueurs des coulisses.

ÉVALUEZ-VOUS !

Après avoir comparé vos réponses au corrigé, vérifiez que vous remplissez les principaux critères de réussite.

J'ai bien trouvé λ = L.

J'ai bien fait le lien entre la note jouée et la fréquence du son (document 4).

J'ai bien fait le lien entre la fréquence du son et le piston enfoncé (document 3 + document 4).

J'ai bien fait le lien entre le piston enfoncé et la longueur d'une coulisse (document 4).

J'ai bien pris le cas sol2# (ou sol2) pour faire l'addition des coulisses 2 et 3 (ou 1 et 3) et trouvé la longueur de la 3e coulisse.

J'ai bien déterminé la fréquence d'une note à partir d'une longueur de tuyau et comparé cette fréquence à celles du document 4.

 

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