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Tumeur cancéreuse et chimiothérapie

Polynésie française • Septembre 2017

Exercice 2 • 6 points • 1 h 15

Tumeur cancéreuse et chimiothérapie

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Limites de fonctions

 

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On s'intéresse à l'évolution au cours du temps d'une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note N(t) le nombre de cellules cancéreuses après un temps t exprimé en semaines et N(0) = N0 le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel t positif ou nul, on admet qu'il existe un nombre a tel que :

N(t= N0 eat.

1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines.

En déduire la valeur du paramètre a.

2. En arrondissant la valeur de a obtenue, on peut écrire pour tout réel t 0 :

N(t= N0 e0,05t.

La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ 109 cellules. Lorsqu'une tumeur est détectable, on décide d'opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention, il est possible qu'il reste jusqu'à 104 cellules indétectables.

En l'absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait-elle redevenir détectable au toucher ?

Partie B

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l'opération par une chimiothérapie. Lors d'un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l'organisme, exprimée en μmol · L−1, peut être modélisée en fonction du temps exprimé en heures, par la fonction c définie sur l'intervalle [0  + [ par :

c(t)=Dk(1ek80t)

où :

D est un réel positif qui représente le débit d'écoulement du médicament dans la perfusion, exprimé en micromoles par heure 

k est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litres par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit D.

1. Détermination de la clairance

Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur 112 μmol · h−1  au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8 μmol · L−1.

a) Justifier que la clairance k du patient est solution de l'équation :

112(1e340k)6,8k=0.

b) Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle ]0 +[.

c) Donner une valeur approchée à 10−2 de cette solution. Interpréter ce résultat.

2. Réglage du débit

a) Déterminer la limite l de la fonction c en +  en fonction du débit D et de la clairance k.

b) La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite l. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16 μmol · L−1.

En déduire le débit D, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de 5,85 L · h−1.

Les clés du sujet

Partie B

1. b) Étudiez les variations de la fonction f définie sur [0+[ par f(t)=112(1e340t)6,8t.

Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle bien choisi pour conclure.

Corrigé

partie a

1. Déterminer un paramètre E9a

Le nombre de cellules de la tumeur double en 14 semaines. Nous pouvons donc écrire que N(14)=2N(0). Ensuite :

N(14)=2N(0)N0e14a=2N0e14a=214a=ln(2)a=114ln(2).

La valeur du paramètre a est 114ln(2).

2. Déterminer une valeur seuil E8b • E9a

Après l'intervention, soit au temps initial t = 0, on suppose qu'il reste N(0)=N0=104 cellules indétectables. Soit t1 le moment où la tumeur redevient détectable au toucher (soit N(t1)=109). Nous avons alors N(t1)=105N0.

Ensuite :

N(t1)=105N0N0e0,05t1=105N0e0,05t1=1050,05t1=ln(105)t1=5ln(10)0,05=100ln(10).

Puisque 100ln(10)230,26, en l'absence de suivi médical, la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher au bout de 230 semaines environ.

partie b

1. a) Établir l'équation vérifiée par un paramètre inconnu

Au bout de 6 heures, la concentration du médicament est égale à 6,8 μmol · L−1. Cela donne donc c(6)=6,8. Sachant que le débit de la perfusion est D = 112 μmol · h−1, nous obtenons :

c(6)=6,8112k(1ek80×6)=6,8112(1e340k)=6,8k112(1e340k)6,8k=0.

La clairance k du patient est donc solution de l'équation 112(1e340k)6,8k=0.

b) Appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
E6f • E9 • E5 • E7c

Considérons la fonction f définie sur [0+[ par :

f(t)=112(1e340t)6,8t.

Déterminons la dérivée de la fonction f.

f est une somme de fonctions dérivables sur [0+[ donc f est dérivable sur [0+[.

rappel

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Pour tout t[0+[ : f(t)=112×(0(340)e340t)6,8×1=8,4e340t6,8.

Déterminons le signe de la dérivée f et les variations de f sur [0+[.

f(t)>08,4e340t6,8>0e340t>6,88,4340t>ln(1721)t403ln(1721).

En notant α=403ln(1721), avec α2,82, nous obtenons le tableau de variations suivant pour f.

matT_1709_13_00C_tab

f(0)=112(1e340×0)6,8×0=112(1e0=1)6,8×0=0.

f(α)=112(1e340×α)6,8×α        =112(1eln(1721)=1721)6,8×(403)ln(1721)=643+2723ln(1721)2,175.

limt+340t= et limXeX=0 donc, par composition, limt+e340t=0.

De plus,limt+6,8t=. Par opérations élémentaires sur les limites, nous obtenons quelimt+f(t)=.

Montrons enfin que l'équation f(t)=0 admet une unique solution sur ]0+[.

Sur l'intervalle ]0α], l'équation f(t)=0 n'admet pas de solution d'après le tableau de variations. Sur l'intervalle [α+[, la fonction f est continue et strictement décroissante.

Puisque f(α)>0 et quelimt+f(t)=, nous déduisons du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que l'équation f(t)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [α+[.

Finalement, l'équationf(t)=0 admet une unique solution sur ]0+[.

L'équation 112(1e340k)6,8k=0 admet donc une unique solution sur ]0+[.

c) Donner une valeur approchée de la solution d'une équation

À l'aide de la calculatrice, on obtient k5,85 L · h−1.

Casio Graph 35+E

TI-82 Advanced

matT_1709_13_00C_01

matT_1709_13_00C_02

Si la concentration est de 6,8 μmol · L−1 au bout de 6 heures avec un débit de 112 μmol · h−1, c'est que la clairance du patient est d'environ 5,85 L · h−1.

2. a) Calculer une limite E5a • E5b

Sachant que k>0, limt+k80t= et limXeX=0 donc, par composition, limt+ek80t=0.

Par conséquent, limt+c(t)=Dk(10)=Dk. Ainsi l=Dk.

b) Déterminer un paramètre sous contrainte

Pour que le traitement soit efficace sans être toxique, la concentration limite l doit être égale à 16 μmol · L−1. La clairance est de 5,85, donc k=5,85. Nous obtenons ainsi :

l=DkD=l×k=16×5,85=93,6.

Lorsque la clairance du patient est de 5,85 L · h−1, le débit D doit être réglé par le médecin à 93,6 μmol · h−1.

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