LE MOUVEMENT
Description d'un mouvement
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pchT_2000_00_22C
Le mouvement
Un ascenseur à bateaux
Intérêt du sujet • Exploitons la chronophotographie d'un mouvement circulaire pour étudier les caractéristiques d'un étonnant ascenseur rotatif et calculer vitesse et accélération, puis tracer ces vecteurs.
La Roue de Falkirk (en anglais Falkirk Wheel) est un étonnant ascenseur rotatif à bateaux, reliant le canal inférieur (Forth and Clyde Canal) au canal supérieur (Union Canal), près de la ville de Falkirk dans le centre de l'Écosse. Depuis 2002, cet ascenseur permet le passage des bateaux d'un canal à l'autre. L'édifice se substitue à un ancien escalier d'écluses.
Figure 1. Schéma de la roue de Falkirk (vue de face)
La Roue de Falkirk mesure 35 mètres de haut. Le système d'ascenseur permet d'élever les bateaux d'une hauteur de 24 m. La durée de l'ascension d'un godet est estimée à 5 min 30 s. Le bras tournant comporte deux godets remplis d'eau situés à chacune de ses extrémités. Un système de roues dentées permet la rotation du bras tout en maintenant l'eau à l'horizontale dans les godets. La distance entre C le centre de la roue et le centre du godet (G) est de 12 m.
Dans tout l'exercice, on notera v la valeur du vecteur vitesse et a la valeur du vecteur accélération . Le système considéré est constitué d'un godet contenant de l'eau et un bateau. Il est assimilé à un point, noté G, correspondant au centre du godet.
Partie 1. référentiel d'étude du mouvement
Trois personnes observent le système en mouvement. Un référentiel est lié à chacun des observateurs :
R1 : référentiel lié à une touriste placée sur la berge ;
R2 : référentiel lié à un voyageur assis dans le bateau ;
R3 : référentiel lié à un technicien installé, immobile, dans le godet opposé à celui contenant le bateau.
Pour réaliser l'étude du mouvement, on souhaite utiliser le référentiel terrestre. Quel est le référentiel à choisir parmi ceux présentés ?
Partie 2. système d'enregistrement du mouvement
Figure 2. Position du centre de gravité G lors de l'ascension
Le système d'enregistrement superpose une succession de photographies prises à intervalles de temps égaux afin d'étudier un mouvement.
La superposition des photographies de la roue prises par un photographe amateur depuis la rive et un dispositif de pointage ont permis de repérer l'évolution de la position du point G lors de l'ascension d'un bateau (figure 2).
Échelle
Distance : 1 cm sur le schéma représente 3,0 m dans la réalité.
▶ 1. Donner la nature du mouvement du point G, en justifiant les termes employés.
▶ 2. Déterminer l'intervalle de temps entre deux photographies.
▶ 3. Les trois graphiques 1, 2 et 3 (ci-dessous) représentent trois évolutions temporelles possibles de la valeur de la vitesse du point G. Identifier celui qui correspond à l'ascension du bateau, en justifiant la réponse par un calcul.
Graphique 1
Graphique 2
Graphique 3
▶ 4. Tracer sur la figure 2 les vecteurs vitesse aux points G3 et G9.
▶ 5. Représenter les vecteurs et de la base de Frenet aux points G3 et G9.
▶ 6. Donner l'expression littérale de l'accélération dans la base de Frenet.
▶ 7. Déterminer l'accélération du point G et représenter les vecteurs accélération aux points G3 et G9.
▶ 8. Citer au moins un adjectif pour qualifier l'accélération du système.
Partie 3. Le roulis
Définition. Le roulis est un mouvement d'oscillations latérales du navire, symbolisé par la double flèche sur le schéma ci-dessous.
Afin d'éviter le roulis du bateau lors de l'ascension, la valeur de l'accélération du système, dans son mouvement de rotation autour du centre C de la roue, doit être faible.
On admet que si l'accélération du système ne dépasse pas un centième de l'accélération de la pesanteur terrestre, alors le roulis est négligeable.
Donnée
Intensité du champ de pesanteur terrestre : g = 9,8 m · s–2.
Le roulis est-il négligeable ?
Les clés du sujet
Le lien avec le programme
Les conseils du correcteur
Partie 2
▶ 1. Décrire un mouvement nécessite de préciser le référentiel utilisé, la nature de la trajectoire et la variation éventuelle de vitesse.
▶ 2. Utilisez la durée estimée du mouvement donnée dans l'énoncé.
▶ 3. Observez la variation de la vitesse et calculer sa valeur.
▶ 4. Choisissez une échelle de représentation pour les vecteurs vitesse.
▶ 5. à ▶ 7. Utilisez la définition du repère de Frenet.
▶ 8. Observez la direction du vecteur accélération dans ce cas.
Partie 1. Le référentiel d'étude du mouvement
▶ Choisir un référentiel
Le référentiel R1 est lié au sol : c'est le référentiel terrestre.
Partie 2. système d'enregistrement du mouvement
▶ 1. Donner les caractéristiques d'un mouvement
Dans le référentiel terrestre, le mouvement du point G est :
circulaire car la trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle) ;
uniforme car la vitesse du point G est constante.
▶ 2. Exploiter l'information
La durée de l'ascension est de 5 min 30 s, soit 330 s et fait apparaître 12 positions successives, soit 11 intervalles de temps. Les photographies ayant été prises à intervalles réguliers, ∆t = = 30 s.
▶ 3. Confronter un modèle à une représentation graphique
Le graphique 1 montre une vitesse qui diminue. Il ne correspond pas à la situation étudiée puisque la vitesse est constante, ce qui est compatible avec les graphiques 2 et 3. On sait que le mouvement circulaire entre G1 et G12 correspond à un demi-tour, sur une distance :
d = π × R =π × 12 = 37,7 m parcourue en 330 s. La vitesse moyenne du point G est donc : v = = 0,114 soit 0,11 m · s–1 avec 2 chiffres significatifs. Cette valeur est conforme avec le graphique 2.
▶ 4. Tracer un vecteur vitesse
Les vecteurs vitesse sont tangents au mouvement, dans le sens du déplacement, et de longueur proportionnelle à la valeur de la vitesse.
Avec 1 cm pour 0,05 m · s–1 par exemple, est représenté par une flèche de 2,2 cm.
▶ 5. Connaître le repère de Frenet
Les vecteurs et de la base de Frenet sont des vecteurs unitaires, respectivement tangent et perpendiculaire à la trajectoire.
▶ 6. Utiliser la base de Frenet
L'expression de l'accélération dans la base de Frenet est :
avec v la valeur de la vitesse et R le rayon de la trajectoire.
▶ 7. Représenter le vecteur accélération
Le mouvement étant uniforme, = 0. Avec v = 0,11 m · s–1, constante, et R valant 12 m : = 1,0 × 10–3 m · s–2. Donc : .
Avec l'échelle 1 cm pour 0,5 × 10–3 m · s–2, le vecteur accélération est représenté par une flèche de 2 cm dirigée suivant .
▶ 8. Utiliser un vocabulaire adapté
L'accélération est dirigée vers le centre de la trajectoire : elle est centripète.
Partie 3. Le roulis
▶ Valider un résultat
« Un centième de l'accélération de la pesanteur terrestre » correspond à : = 9,8 × 10–2 = 98 × 10–3 m · s–2. Or a = 1,0 × 10–3 m · s–2. donc le roulis est négligeable.