Annale corrigée Exercice

Un bac à sable

Polynésie française • Septembre 2019

Un bac à sable

Exercice 5

15 min

16 points

On construit un bac à sable pour enfants.

mat3_1909_13_03C_01

Ce bac a la forme d'un prisme droit de hauteur 15 cm. La base de ce prisme droit est représentée par le polygone ABCDE ci-dessous :

Attention la figure n'est pas construite à la taille réelle.

mat3_1909_13_03C_02

1. Calculer CD. Arrondir au centimètre près.

2. Justifier que le quadrilatère ABPE est un carré.

3. En déduire le périmètre du polygone ABCDE. Arrondir au centimètre près.

4. On a construit le tour du bac à sable avec des planches en bois de longueur 2,40 m et de hauteur 15 cm chacune.

De combien de planches a-t-on besoin ?

5. Calculer, en m², l'aire du polygone ABCDE.

6. A-t-on eu besoin de plus de 300 L de sable pour remplir complètement le bac ?

Rappel : Volume d'un prisme droit = aire de la base × hauteur.

 

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Voici une stratégie possible en six points pour calculer le volume d'un bac à sable.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 6 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser le théorème de Pythagore; Applique le théorème de Pythagore au triangle CPD rectangle en P.; Ligne 2 : ▶ 2. Utiliser les propriétés du carré; Un carré possède quatre angles droits et deux cotés consécutifs de même mesure.; Ligne 3 : ▶ 3. Calculer le périmètre d'un polygone; Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des mesures des côtés.; Ligne 4 : ▶ 4. Effectuer un calcul; Attention ! Le nombre de planches est un nombre entier.Prends une valeur approchée par excès.; Ligne 5 : ▶ 5. Effectuer des calculs d'aire; Remarque que l'aire du polygone ABCDE est la différence de deux aires.; Ligne 6 : ▶ 6. Effectuer un calcul de volume; Calcule le volume du prisme droit en utilisant le « rappel » situé en fin d'exercice.;

1. On applique le théorème de Pythagore au triangle CPD qui est rectangle en P :

CD² = PD² + PC² = 1,3² + 1,3² = 3,38.

D'où, au cm près :

CD=3,38=1,84 m.

2. Le quadrilatère ABPE possède 4 angles droits (voir codage sur la figure). C'est donc un rectangle. De plus :

EP = ED + DP = 0,4 + 1,3 = 1,7 m

BP = BC + CP = 0,4 + 1,3 = 1,7 m.

Donc EP = BP = 1,7 m.

Le quadrilatère ABPE possède 4 angles droits et 2 côtés consécutifs de même mesure. ABPE est donc un carré.

3. Notons P le périmètre du polygone ABCDE.

D'après la question précédente, AB = EP = 1,7 m, d'où :

P = AB + BC + CD + DE + EA

P = 1,7 + 0,4 + 1,84 + 0,4 + 1,7.

Une valeur arrondie de P au centimètre près est :

P=6,04 m.

4. La hauteur du bac à sable est de 15 cm, ainsi que la hauteur des planches utilisées. En hauteur, une planche suffit donc.

De plus, une planche possède une longueur de 2,4 m.

Notons n le nombre de planches nécessaires.

Nous avons n = 6,042,4 = 2,51…

Mais le nombre de planches est un nombre entier.

On a donc besoin de 3 planches pour réaliser le bac à sable.

5. L'aire A du polygone ABCDE est la différence entre l'aire du carré ABPE et l'aire du triangle rectangle isocèle CPD.

A = AB × AB – PC×PD2 = 1,7 × 1,7 – 1,3×1,32

A=2,045 m2.

6. Le volume 𝒱 du bac à sable est égal à :

𝒱 = A × 0,15 = 2,045 × 0,15 = 0,306 m3

V=306 L.

Il faut donc un peu plus de 300 litres pour remplir le bac à sable.

rappel

1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 litres.

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