▶ 1. On applique le théorème de Pythagore au triangle CPD qui est rectangle en P :

CD² = PD² + PC² = 1,3² + 1,3² = 3,38.

D'où, au cm près :

$\boxed{\text{CD}=\sqrt[]{\mathrm{3,38}}=\mathrm{1,84}\text{ m}}$.

▶ 2. Le quadrilatère ABPE possède 4 angles droits (voir codage sur la figure). C'est donc un rectangle. De plus :

EP = ED + DP = 0,4 + 1,3 = 1,7 m

BP = BC + CP = 0,4 + 1,3 = 1,7 m.

Donc EP = BP = 1,7 m.

Le quadrilatère ABPE possède 4 angles droits et 2 côtés consécutifs de même mesure. ABPE est donc un carré.

▶ 3. Notons P le périmètre du polygone ABCDE.

D'après la question précédente, AB = EP = 1,7 m, d'où :

P = AB + BC + CD + DE + EA

P = 1,7 + 0,4 + 1,84 + 0,4 + 1,7.

Une valeur arrondie de P au centimètre près est :

$\boxed{P=\mathrm{6,04}\text{ m}}$.

▶ 4. La hauteur du bac à sable est de 15 cm, ainsi que la hauteur des planches utilisées. En hauteur, une planche suffit donc.

De plus, une planche possède une longueur de 2,4 m.

Notons n le nombre de planches nécessaires.

Nous avons n = $\frac{\mathrm{6,04}}{\mathrm{2,4}}$ = 2,51…

Mais le nombre de planches est un nombre entier.

On a donc besoin de 3 planches pour réaliser le bac à sable.

▶ 5. L'aire $\mathcal{A}$ du polygone ABCDE est la différence entre l'aire du carré ABPE et l'aire du triangle rectangle isocèle CPD.

$\mathcal{A}$ = AB × AB – $\frac{\text{PC}\times \text{PD}}{2}$ = 1,7 × 1,7 – $\frac{\mathrm{1,3}\times \mathrm{1,3}}{2}$

$\boxed{\mathcal{A}=\mathrm{2,045}{\text{ m}}^2}$.

▶ 6. Le volume 𝒱 du bac à sable est égal à :

𝒱 = $\mathcal{A}$ × 0,15 = 2,045 × 0,15 = 0,306 m³

$\boxed{\mathcal{V}=306\text{ L}}$.

Il faut donc un peu plus de 300 litres pour remplir le bac à sable.