Suites numériques • Compléments sur les fonctions
Ens. spécifique
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matT_1706_13_01C
Polynésie française • Juin 2017
Exercice 2 • 5 points • ⏱ 1 h
Un cône de volume maximal
Les thèmes clés
Compléments sur les fonctions
Dans un disque en carton de rayon R, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l'angle α pour obtenir un cône de volume maximal.
On appelle l le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.
On rappelle que :
le volume d'un cône de révolution de base un disque d'aire et de hauteur h est
la longueur d'un arc de cercle de rayon r et d'angle θ, exprimé en radians, est rθ.
▶ 1. On choisit R = 20 cm.
a) Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h) = (400 – h2)h.
b) Justifier qu'il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.
c) Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.
▶ 2. L'angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?
Les clés du sujet
▶ 1. c) Remarquez que le périmètre du disque de base du cône est égal à celui du disque en carton diminué de la longueur de l'arc de cercle d'angle α.
Corrigé
▶ 1. a) Établir une formule pour le volume d'un cône
L'aire du disque de base du cône est donnée par la formule .
En reprenant la figure de l'énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d'après le théorème de Pythagore :
Nous obtenons ainsi A = .
Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :
b) Déterminer un maximum E6c • E6e • E6f
h désigne une longueur donc h ≥ 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc h ≤ R. Finalement, h appartient à l'intervalle .
D'après la question 1. a), pour tout , . La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur .
Pour tout , .
Comme , le signe de V′(h) est celui de . Or :
.
La valeur est exclue puisque cette valeur n'appartient pas à l'intervalle . Le polynôme est du signe de – 3 à l'extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V′(h).
h | 0 | 20 | |||
Signe de V′(h) | + | 0 | – |
Par conséquent, V est strictement croissante sur et strictement décroissante sur . La fonction V admet donc un maximum en sur l'intervalle .
Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est .
c) Déterminer la mesure d'un angle sous contrainte
Le volume V est maximal pour .
Dans ce cas, et .
Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à .
Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l'arc de cercle de rayon R = 20 et d'angle α (en radians). D'après le point précédent et d'après l'énoncé (2e rappel), nous obtenons donc :
.
Cela donne alors :
.
Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360°, nous obtenons :
degrés.
Avec la calculatrice, on obtient finalement α ≈ 66°.
Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle d'environ .
▶ 2. Étudier une situation dans le cas général
Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.
Nous obtenons et .
L'équation à résoudre est désormais .
Elle équivaut à soit :
.
L'angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.