Un cône de volume maximal

Corrigé

▶ 1. a) Établir une formule pour le volume d'un cône

L'aire A du disque de base du cône est donnée par la formule A= πl2.

En reprenant la figure de l'énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d'après le théorème de Pythagore :

R2=l2+h2⇔l2=R2−h2=202−h2=400−h2.

Nous obtenons ainsi A = π(400−h2).

Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :

V(h)=13π×(400−h2)×h.

b) Déterminer un maximum  E6c • E6e • E6f 

h désigne une longueur donc h ≥ 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc h ≤ R. Finalement, h appartient à l'intervalle [0R]=[020].

D'après la question 1. a), pour tout h∈[020], V(h)=13π(400−h2)×h=π3(400h−h3). La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur [020].

Pour tout h∈[020], V′(h)=π3(400−3h2).

Comme π3>0, le signe de V′(h) est celui de 400−3h2. Or :

400−3h2=0⇔h2=4003⇔h=203ouh=−203.

La valeur h=−203 est exclue puisque cette valeur n'appartient pas à l'intervalle [020]. Le polynôme 400−3h2 est du signe de – 3 à l'extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V′(h).

Par conséquent, V est strictement croissante sur [0203] et strictement décroissante sur [20320]. La fonction V admet donc un maximum en h=203 sur l'intervalle [020].

Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est h=203.

c) Déterminer la mesure d'un angle sous contrainte

Le volume V est maximal pour h=203.

Dans ce cas, l2=400−h2=400−(203)2=400−4003=8003 et l=2023.

Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à 2πl=40π23.

Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l'arc de cercle de rayon R = 20 et d'angle α (en radians). D'après le point précédent et d'après l'énoncé (2e rappel), nous obtenons donc :

40π23=2πR−Rα=40π−20α.

Cela donne alors :

20α=40π−40π23⇔α=2π−2π23=2π(1−23).

Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360°, nous obtenons :

α=2π(1−23)rad=360×(1−23) degrés.

Avec la calculatrice, on obtient finalement α ≈ 66°.

Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle α d'environ 66°.

▶ 2. Étudier une situation dans le cas général

Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.

Nous obtenons h=R3 et l=R23.

L'équation à résoudre est désormais 2πR23=2πR−Rα.

Elle équivaut à 2π23=2π−α soit :

α=2π−2π23=2π(1−23).

L'angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.