Annale corrigée Exercice Ancien programme

Un cône de volume maximal

Polynésie française • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 1 h

Un cône de volume maximal

Les thèmes clés

Compléments sur les fonctions

 

matT_1706_13_00C_01

Dans un disque en carton de rayon R, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l'angle α pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle l le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.

On rappelle que :

le volume d'un cône de révolution de base un disque d'aire A et de hauteur h est 13Ah 

la longueur d'un arc de cercle de rayon r et d'angle θ, exprimé en radians, est rθ.

1. On choisit R = 20 cm.

a) Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h= 13π(400 – h2)h.

b) Justifier qu'il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c) Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.

2. L'angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?

Les clés du sujet

1. c) Remarquez que le périmètre du disque de base du cône est égal à celui du disque en carton diminué de la longueur de l'arc de cercle d'angle α.

Corrigé

1. a) Établir une formule pour le volume d'un cône

L'aire A du disque de base du cône est donnée par la formule A= πl2.

matT_1706_13_00C_05

En reprenant la figure de l'énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d'après le théorème de Pythagore :

R2=l2+h2l2=R2h2=202h2=400h2.

Nous obtenons ainsi A = π(400h2).

Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :

V(h)=13π×(400h2)×h.

b) Déterminer un maximum  E6c • E6e • E6f 

h désigne une longueur donc h 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc h R. Finalement, h appartient à l'intervalle [0R]=[020].

D'après la question 1. a), pour tout h[020], V(h)=13π(400h2)×h=π3(400hh3). La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur [020].

Pour tout h[020], V(h)=π3(4003h2).

Comme π3>0, le signe de V(h) est celui de 4003h2. Or :

4003h2=0h2=4003h=203ouh=203.

La valeur h=203 est exclue puisque cette valeur n'appartient pas à l'intervalle [020]. Le polynôme 4003h2 est du signe de – 3 à l'extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V(h).

h

0

203

20

Signe de V(h)

+

0

Par conséquent, V est strictement croissante sur [0203] et strictement décroissante sur [20320]. La fonction V admet donc un maximum en h=203 sur l'intervalle [020].

Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est h=203.

c) Déterminer la mesure d'un angle sous contrainte

Le volume V est maximal pour h=203.

Dans ce cas, l2=400h2=400(203)2=4004003=8003 et l=2023.

Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à 2πl=40π23.

Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l'arc de cercle de rayon R = 20 et d'angle α (en radians). D'après le point précédent et d'après l'énoncé (2e rappel), nous obtenons donc :

40π23=2πRRα=40π20α.

Cela donne alors :

20α=40π40π23α=2π2π23=2π(123).

Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360°, nous obtenons :

α=2π(123)rad=360×(123) degrés.

Avec la calculatrice, on obtient finalement α 66°.

Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle α d'environ 66°.

2. Étudier une situation dans le cas général

Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.

Nous obtenons h=R3 et l=R23.

L'équation à résoudre est désormais 2πR23=2πRRα.

Elle équivaut à 2π23=2πα soit :

α=2π2π23=2π(123).

L'angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.

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