Un cône de volume maximal

Dans un disque en carton de rayon R, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle l le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.

On rappelle que :

le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire $\mathcal{A}$ et de hauteur h est $\frac{1}{3}\mathcal{A}h$;

la longueur d’un arc de cercle de rayon r et d’angle θ, exprimé en radians, est rθ.

▶ 1. On choisit R = 20 cm.

a) Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h) = $\frac{1}{3}\pi$(400 – h2)h.

b) Justifier qu’il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c) Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.

▶ 2. L’angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?