Un cône de volume maximal

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2017

Exercice 2 • 5 points • 1 h

Un cône de volume maximal

Les thèmes clés

Compléments sur les fonctions

 

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Dans un disque en carton de rayon R, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle l le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.

On rappelle que :

le volume d’un cône de révolution de base un disque d’aire A et de hauteur h est 13Ah ;

la longueur d’un arc de cercle de rayon r et d’angle θ, exprimé en radians, est rθ.

1. On choisit R = 20 cm.

a) Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h= 13π(400 – h2)h.

b) Justifier qu’il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c) Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.

2. L’angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?

Les clés du sujet

1. c) Remarquez que le périmètre du disque de base du cône est égal à celui du disque en carton diminué de la longueur de l’arc de cercle d’angle α.