Annale corrigée Exercice

Un cône de volume maximal

Compléments sur les fonctions

Un cône de volume maximal

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  On dispose d'un patron pour fabriquer un cône et l'on va calculer l'angle de découpe qui rend maximal le volume du cône. Pour cela, établissez la formule de ce volume et étudiez la fonction polynôme trouvée afin de déterminer son maximum.

 

matT_1706_13_00C_01

Dans un disque en carton de rayon R, on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α radians. On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l'angle α pour obtenir un cône de volume maximal.

On appelle l le rayon de la base circulaire de ce cône et h sa hauteur.

On rappelle que :

le volume d'un cône de révolution de base un disque d'aire A et de hauteur h est 13Ah ;

la longueur d'un arc de cercle de rayon r et d'angle θ, exprimé en radians, est rθ.

1. On choisit R = 20 cm.

a) Montrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est V(h) = 13π(400 – h2)h.

b) Justifier qu'il existe une valeur de h qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c) Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximum ? Donner un arrondi de α au degré près.

2. L'angle α dépend-il du rayon R du disque en carton ?

Les clés du sujet

1. c) Remarquez que le périmètre du disque de base du cône est égal à celui du disque en carton diminué de la longueur de l'arc de cercle d'angle α.

1. a) Établir une formule pour le volume d'un cône

L'aire A du disque de base du cône est donnée par la formule A= πl2.

matT_1706_13_00C_05

En reprenant la figure de l'énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d'après le théorème de Pythagore :

R2=l2+h2l2=R2h2=202h2=400h2.

Nous obtenons ainsi A = π(400h2).

Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :

V(h)=13π×(400h2)×h.

b) Déterminer un maximum

h désigne une longueur donc h ≥ 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc hR. Finalement, h appartient à l'intervalle [0;R]=[0;20].

D'après la question 1. a), pour tout h[0;20], V(h)=13π(400h2)×h=π3(400hh3). La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur [0;20].

Pour tout h[0;20], V(h)=π3(4003h2).

Comme π3>0, le signe de V′(h) est celui de 4003h2. Or :

4003h2=0h2=4003h=203ouh=203.

La valeur h=203 est exclue puisque cette valeur n'appartient pas à l'intervalle [0;20]. Le polynôme 4003h2 est du signe de – 3 à l'extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V′(h).

Tableau de 2 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : h; 0; ; 203; ; 20; Ligne 2 : Signe de V′(h); ; +; 0; –; ;

Par conséquent, V est strictement croissante sur 0;203 et strictement décroissante sur 203;20. La fonction V admet donc un maximum en h=203 sur l'intervalle [0;20].

Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est h=203.

c) Déterminer la mesure d'un angle sous contrainte

Le volume V est maximal pour h=203.

Dans ce cas, l2=400h2=4002032=4004003=8003 et l=2023.

Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à 2πl=40π23.

Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l'arc de cercle de rayon R = 20 et d'angle α (en radians). D'après le point précédent et d'après l'énoncé (2e rappel), nous obtenons donc :

40π23=2πRRα=40π20α.

Cela donne alors :

20α=40π40π23α=2π2π23=2π123.

Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360°, nous obtenons :

α=2π123rad=360×123 degrés.

Avec la calculatrice, on obtient finalement α ≈ 66°.

Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle α d'environ 66°.

2. Étudier une situation dans le cas général

Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.

Nous obtenons h=R3 et l=R23.

L'équation à résoudre est désormais 2πR23=2πRRα.

Elle équivaut à 2π23=2πα soit :

α=2π2π23=2π123.

L'angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.

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