▶ 1. a) Établir une formule pour le volume d'un cône

L'aire $\mathcal{A}$ du disque de base du cône est donnée par la formule $\mathcal{A}= \text{π}{\mathcal{l}}^2$.

En reprenant la figure de l'énoncé, nous avons, dans le triangle rectangle en pointillés, d'après le théorème de Pythagore :

$\begin{array}{l}{R}^2={\mathcal{l}}^2+h^2\\ \iff {\mathcal{l}}^2=R^2-h^2={20}^2-h^2=400-h^2.\end{array}$

Nous obtenons ainsi A = $\text{π}(400-h^2)$.

Le volume du cône, en fonction de sa hauteur h, est donc :

$V(h)=\frac{1}{3}\text{π}\times (400-h^2)\times h.$

b) Déterminer un maximum

h désigne une longueur donc h ≥ 0. Pour que le cône soit réalisable, h ne peut dépasser R donc h ≤ R. Finalement, h appartient à l'intervalle $[0;R]=[0;20]$.

D'après la question 1. a), pour tout $h\in [0;20]$, $V(h)=\frac{1}{3}\text{π}(400-h^2)\times h=\frac{\text{π}}{3}(400h-h^3)$. La fonction V est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur $[0;20]$.

Pour tout $h\in [0;20]$, $V^{\prime }(h)=\frac{\text{π}}{3}(400-3h^2)$.

Comme $\frac{\text{π}}{3}>0$, le signe de V′(h) est celui de $400-3h^2$. Or :

$400-3h^2=0\iff h^2=\frac{400}{3}\iff h=\frac{20}{\sqrt[]{3}}\text{ou}h=-\frac{20}{\sqrt[]{3}}$.

La valeur $h=-\frac{20}{\sqrt[]{3}}$ est exclue puisque cette valeur n'appartient pas à l'intervalle $[0;20]$. Le polynôme $400-3h^2$ est du signe de – 3 à l'extérieur des racines. Nous en déduisons le tableau de signes de V′(h).

Par conséquent, V est strictement croissante sur $\left[0;\frac{20}{\sqrt[]{3}}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\frac{20}{\sqrt[]{3}};20\right]$. La fonction V admet donc un maximum en $h=\frac{20}{\sqrt[]{3}}$ sur l'intervalle $[0;20]$.

Il existe une valeur qui rend le volume du cône maximal. Cette valeur est $h=\frac{20}{\sqrt[]{3}}$.

c) Déterminer la mesure d'un angle sous contrainte

Le volume V est maximal pour $h=\frac{20}{\sqrt[]{3}}$.

Dans ce cas, ${\mathcal{l}}^2=400-h^2=400-{\left(\frac{20}{\sqrt[]{3}}\right)}^2=400-\frac{400}{3}=\frac{800}{3}$ et $\mathcal{l}=20\sqrt[]{\frac{2}{3}}$.

Le périmètre du cercle délimitant le disque de base du cône est donc égal à $2\text{π}\mathcal{l}=40\text{π}\sqrt[]{\frac{2}{3}}$.

Ce périmètre est aussi égal au périmètre du cercle délimitant le disque en carton de rayon R = 20 diminué de la longueur de l'arc de cercle de rayon R = 20 et d'angle α (en radians). D'après le point précédent et d'après l'énoncé (2^e rappel), nous obtenons donc :

$40\text{π}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=2\text{π}R-R\text{α}=40\text{π}-20\text{α}$.

Cela donne alors :

$20\text{α}=40\text{π}-40\text{π}\sqrt[]{\frac{2}{3}}\iff \text{α}=2\text{π}-2\text{π}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=2\text{π}\left(1-\sqrt[]{\frac{2}{3}}\right)$.

Puisque α est exprimé en radians et que 2π radians correspondent à 360°, nous obtenons :

$\text{α}=2\text{π}\left(1-\sqrt[]{\frac{2}{3}}\right)\text{rad}=360\times \left(1-\sqrt[]{\frac{2}{3}}\right)$ degrés.

Avec la calculatrice, on obtient finalement α ≈ 66°.

Pour avoir un volume maximal, il faut découper le disque en carton de façon à avoir un angle $\text{α}$ d'environ $66°$.

▶ 2. Étudier une situation dans le cas général

Reprenons les calculs des questions 1. b) et 1. c) en remplaçant la valeur particulière 20 par la lettre R.

Nous obtenons $h=\frac{R}{\sqrt[]{3}}$ et $\mathcal{l}=R\sqrt[]{\frac{2}{3}}$.

L'équation à résoudre est désormais $2\text{π}R\sqrt[]{\frac{2}{3}}=2\text{π}R-R\text{α}$.

Elle équivaut à $2\text{π}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=2\text{π}-\text{α}$ soit :

$\text{α}=2\text{π}-2\text{π}\sqrt[]{\frac{2}{3}}=2\text{π}\left(1-\sqrt[]{\frac{2}{3}}\right)$.

L'angle α ne dépend donc pas du rayon R du disque en carton.