Un mélange détonnant

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2015

Exercice 3 • 7 points

Un mélange détonnant

Soit a un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie par : u0 = a et, pour tout n de , 3154708-Eqn6.

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : 3154708-Eqn7.

1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par : g(x= e2x – ex – x.

a) Calculer g′(x) et prouver que, pour tout réel x :

g′(x= (ex – 1)(2ex + l).

b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

c) En remarquant que un+1un = g(un), étudier le sens de variation de la suite (un).

2. Dans cette question, on suppose que a  0 .

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un  0.

b) Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.

c) Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un).

3. Dans cette question, on suppose que a > 0.

La suite (un) étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n, un  a.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 – un  g(a).

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un  a + n × g(a).

c) Déterminer la limite de la suite (un).

4. Dans cette question, on prend a = 0,02.

L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que un > M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.

Variables

n est un entier, u et M sont deux réels

Initialisation

u prend la valeur 0,02

n prend la valeur 0

Saisir la valeur de M

Traitement

Tant que …………………….

…………………….……..

…………………….……..

Fin tant que

Sortie

Afficher n

a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Suites et généralités • Fonction exponentielle • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 2. a) et 3. b)

Généralités sur les suites  E2 1. c), 2. b), 2. c) et 3. c)

Généralités sur les fonctions  E6c • E6e • E6f 1. a) et 1. b)

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e • E8f 1. a), 1. b) et 2. a)

Algorithmes

Suites et détermination d’un indice  A4 4. a)

Nos coups de pouce

2. c) Justifiez soigneusement que tous les termes de la suite étudiée sont nuls. Concluez.

3. a) Prenez en compte la remarque faite à la question 1. c) et l’affirmation de la question 3. Utilisez les variations de la fonction 3154708-Eqn23 étudiées à la question 1. b) pour conclure.

3. c) Justifiez que l’image du réel 3154708-Eqn24 par la fonction 3154708-Eqn25 est strictement positive. Déduisez-en la limite de la suite étudiée à l’aide du théorème de comparaison.