Un mélange détonnant

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2015

Exercice 3 • 7 points

Un mélange détonnant

Soit a un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie par : u0 = a et, pour tout n de , 3154708-Eqn6.

On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : 3154708-Eqn7.

1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par : g(x= e2x – ex – x.

a) Calculer g′(x) et prouver que, pour tout réel x :

g′(x= (ex – 1)(2ex + l).

b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

c) En remarquant que un+1un = g(un), étudier le sens de variation de la suite (un).

2. Dans cette question, on suppose que a  0 .

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un  0.

b) Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.

c) Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un).

3. Dans cette question, on suppose que a > 0.

La suite (un) étant croissante, la question 1. permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n, un  a.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 – un  g(a).

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un  a + n × g(a).

c) Déterminer la limite de la suite (un).

4. Dans cette question, on prend a = 0,02.

L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que un > M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.

Variables

n est un entier, u et M sont deux réels

Initialisation

u prend la valeur 0,02

n prend la valeur 0

Saisir la valeur de M

Traitement

Tant que …………………….

…………………….……..

…………………….……..

Fin tant que

Sortie

Afficher n

a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 80 minutes.

Les thèmes clés

Suites et généralités • Fonction exponentielle • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 2. a) et 3. b)

Généralités sur les suites  E2 1. c), 2. b), 2. c) et 3. c)

Généralités sur les fonctions  E6c • E6e • E6f 1. a) et 1. b)

Fonction exponentielle  E8a • E8b • E8d • E8e • E8f 1. a), 1. b) et 2. a)

Algorithmes

Suites et détermination d’un indice  A4 4. a)

Nos coups de pouce

2. c) Justifiez soigneusement que tous les termes de la suite étudiée sont nuls. Concluez.

3. a) Prenez en compte la remarque faite à la question 1. c) et l’affirmation de la question 3. Utilisez les variations de la fonction 3154708-Eqn23 étudiées à la question 1. b) pour conclure.

3. c) Justifiez que l’image du réel 3154708-Eqn24 par la fonction 3154708-Eqn25 est strictement positive. Déduisez-en la limite de la suite étudiée à l’aide du théorème de comparaison.

Corrigé

Corrigé

1. a) Déterminer la dérivée d’une fonction

En remarquant que 3154708-Eqn148, nous pouvons dire que 3154708-Eqn149 est dérivable sur comme produit et somme de fonctions dérivables sur .

Notez bien

Pour toute fonction 3154708-Eqn150 dérivable sur 3154708-Eqn151, 3154708-Eqn152 est dérivable sur 3154708-Eqn153 et 3154708-Eqn154.

Pour tout 3154708-Eqn155 de , nous avons : 3154708-Eqn156.

Pour tout réel 3154708-Eqn157, nous avons :

3154708-Eqn158

b) Déterminer les variations d’une fonction

Soit 3154708-Eqn159un nombre réel.

Comme 3154708-Eqn160, 3154708-Eqn161. Or, d’après la question précédente, 3154708-Eqn162. Le signe de 3154708-Eqn163 correspond donc au signe de 3154708-Eqn164.

Notez bien

Pour tous réels 3154708-Eqn165 et 3154708-Eqn166 strictement positifs,

3154708-Eqn167.

Pour tout réel 3154708-Eqn168,

3154708-Eqn169.

Pour tout nombre réel 3154708-Eqn170

3154708-Eqn171

De même, 3154708-Eqn172 et 3154708-Eqn173.

Pour tout réel 3154708-Eqn174, 3154708-Eqn175 alors la fonction 3154708-Eqn176est strictement décroissante sur 3154708-Eqn177.

Pour tout réel 3154708-Eqn178, 3154708-Eqn179, alors la fonction 3154708-Eqn180est strictement croissante sur 3154708-Eqn181.

La fonction 3154708-Eqn182 admet alors un minimum en 3154708-Eqn183. Ce minimum a pour valeur :

3154708-Eqn184.

c) Déterminer le sens de variation d’une suite

D’après la question 1. b), pour tout réel 3154708-Eqn185, 3154708-Eqn186. Ainsi, pour tout entier naturel 3154708-Eqn187, 3154708-Eqn188. Or, d’après l’énoncé, 3154708-Eqn189. Par conséquent, 3154708-Eqn190, ce qui s’écrit également 3154708-Eqn191. La suite 3154708-Eqn192est donc croissante.

2. a) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit 3154708-Eqn193 la propriété : 3154708-Eqn194.

Démontrons par récurrence que la propriété 3154708-Eqn195 est vraie pour tout entier naturel 3154708-Eqn196

Initialisation

Pour 3154708-Eqn1973154708-Eqn198 Comme 3154708-Eqn199 est supposé être négatif ou nul, nous avons 3154708-Eqn200 Donc 3154708-Eqn201 est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété 3154708-Eqn204 soit vraie pour un entier naturel 3154708-Eqn205 donné, soit 3154708-Eqn206

Démontrons que la propriété 3154708-Eqn207 est vraie. Par définition de la suite 3154708-Eqn2083154708-Eqn209 qui peut aussi s’écrire 3154708-Eqn210. Comme une exponentielle est toujours positive, 3154708-Eqn211, le signe de 3154708-Eqn212 correspond au signe de 3154708-Eqn213. Or, par l’hypothèse de récurrence,

Notez bien

Pour tous réels 3154708-Eqn2023154708-Eqn203.

3154708-Eqn214

Il en découle que 3154708-Eqn215 et la propriété 3154708-Eqn216 est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel 3154708-Eqn217

b) Justifier la convergence d’une suite

La suite 3154708-Eqn218 est croissante d’après la question 1. c) et majorée par zéro d’après la question 2. a). La suite 3154708-Eqn219est donc convergente.

c) Déterminer la limite d’une suite

Supposons que le réel 3154708-Eqn220 est nul. D’après l’énoncé, le premier terme de la suite 3154708-Eqn221 est ainsi 3154708-Eqn222 Or, d’après la question 1. c), la suite 3154708-Eqn223 est croissante. Cela implique que pour tout entier naturel 3154708-Eqn2243154708-Eqn225 Mais, d’après la question 2. a), la suite 3154708-Eqn226 est majorée par zéro : pour tout entier naturel 3154708-Eqn2273154708-Eqn228 Nous en concluons que tous les termes de la suite 3154708-Eqn229 sont nuls et par conséquent que la limite de cette suite est zéro.

3. a) Justifier une inégalité

Soit 3154708-Eqn230 un entier naturel. D’après la remarque faite à la question 1. c), nous avons : 3154708-Eqn231

De plus, d’après l’affirmation de la question 3., 3154708-Eqn236 Or, comme le réel 3154708-Eqn237 est strictement positif et que la fonction 3154708-Eqn238 est strictement croissante sur l’intervalle 3154708-Eqn2393154708-Eqn240Ainsi, pour tout entier naturel 3154708-Eqn2413154708-Eqn242

b) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit 3154708-Eqn243 la propriété : 3154708-Eqn244

Démontrons par récurrence que la propriété 3154708-Eqn245 est vraie pour tout entier naturel 3154708-Eqn246

Initialisation

Pour 3154708-Eqn247 nous avons d’une part, 3154708-Eqn248 et d’autre part, 3154708-Eqn249 Comme 3154708-Eqn2503154708-Eqn251 est vraie et la propriété est initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété 3154708-Eqn252 soit vraie pour un entier naturel 3154708-Eqn253donné : 3154708-Eqn254 Démontrons que la propriété 3154708-Eqn255 est vraie. Nous avons :

3154708-Eqn256

La propriété 3154708-Eqn257 est ainsi vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel 3154708-Eqn258

c) Déterminer la limite d’une suite

D’après la question 1. b), la fonction 3154708-Eqn259 est strictement croissante sur l’intervalle 3154708-Eqn260 et elle admet sur zéro comme minimum, atteint en 3154708-Eqn261 Le réel 3154708-Eqn262 étant strictement positif, nous en déduisons que 3154708-Eqn263.

Notez bien

Soit 3154708-Eqn232 une fonction strictement croissante sur un intervalle 3154708-Eqn233 Pour tous réels 3154708-Eqn234 si 3154708-Eqn235

Comme 3154708-Eqn264 et 3154708-Eqn2653154708-Eqn266

Comme, d’après la question précédente, pour tout entier naturel 3154708-Eqn267nous en concluons par le théorème de comparaison, que 3154708-Eqn268

4. a) Compléter un algorithme

La suite 3154708-Eqn269 étant croissante, le calcul des termes de cette suite doit se poursuivre jusqu’à obtenir le premier terme strictement supérieur à la valeur 3154708-Eqn270 saisie. Autrement dit, nous devons calculer successivement à l’aide de la formule de récurrence (pour tout 3154708-Eqn271 de , 3154708-Eqn272) les termes de cette suite tant que ces derniers sont inférieurs ou égaux à la valeur 3154708-Eqn273 La partie « Traitement » est ainsi :

Traitement

Tant que 3154708-Eqn275

3154708-Eqn276 prend la valeur 3154708-Eqn277

3154708-Eqn278 prend la valeur 3154708-Eqn279

Fin Tant que

b) Déterminer une valeur affichée par un algorithme

À l’aide d’une calculatrice, nous obtenons :

3154708-Eqn280

3154708-Eqn281

Condition

0

0,02

60

3154708-Eqn284

3154708-Eqn285

60

34

0,71

60

35

2,13

60

36

62,35

> 60

La valeur affichée par l’algorithme est 36.