Annale corrigée Exercice

Un mélange détonnant

Fonctions de référence

Un mélange détonnant

1 h 20

7 points

Intérêt du sujet  On étudie ici les variations et la limite d'une suite définie par récurrence à l'aide de fonctions exponentielles. Un algorithme permet de calculer une valeur seuil.

Soit a un nombre réel fixé non nul.

Le but de cet exercice est d'étudier la suite (un) définie par : u0 = a et, pour tout n de ℕ, un+1=e2uneun.

On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : un+1=euneun1.

1. Soit g la fonction définie pour tout réel x par : g(x) = e2x – ex – x.

a) Calculer g′(x) et prouver que, pour tout réel x :

g′(x) = (ex – 1)(2ex + l).

b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.

c) En remarquant que un+1un = g(un), étudier le sens de variation de la suite (un).

2. Dans cette question, on suppose que a ≤ 0.

a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un ≤ 0.

b) Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.

c) Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un).

3. Dans cette question, on suppose que a > 0.

La suite (un) étant croissante, la question 1. permet d'affirmer que, pour tout entier naturel n, un ≥ a.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 – un ≥ g(a).

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un ≥ a + n × g(a).

c) Déterminer la limite de la suite (un).

4. Dans cette question, on prend a = 0,02.

L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que un > M, où M désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.

Tableau de 6 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : Variables; n est un entier, u et M sont deux réels; Ligne 2 : Initialisation; u prend la valeur 0,02n prend la valeur 0Saisir la valeur de M; Ligne 3 : Traitement; Tant que …………………….; Ligne 4 : ; ; …………………….……..…………………….……..; Ligne 5 : ; Fin tant que; Ligne 6 : Sortie; Afficher n;

a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60.

Les clés du sujet

2. c) Justifiez soigneusement que tous les termes de la suite étudiée sont nuls. Concluez.

3. a) Prenez en compte la remarque faite à la question 1. c) et l'affirmation de la question 3. Utilisez les variations de la fonction g étudiées à la question 1. b) pour conclure.

3. c) Justifiez que l'image du réel a par la fonction g est strictement positive. Déduisez-en la limite de la suite étudiée à l'aide du théorème de comparaison.

1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

à noter

Pour toute fonction u dérivable sur I, eu est dérivable sur I et eu=u×eu.

En remarquant que e2x=ex×ex, nous pouvons dire que g est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ.

Pour tout x de ℝ, nous avons : g(x)=2×e2xex1.

Pour tout réel x, nous avons :

ex1×2ex+1=ex×2ex+ex×11×2ex1×1                            =2e2xex1                            =g(x).

b) Déterminer les variations d'une fonction

Soit xun nombre réel.

Comme ex>0, 2ex+11>0. Or, d'après la question précédente, g(x)=(ex1)(2ex+1). Le signe de g(x) correspond donc au signe de ex1.

à noter

Pour tous réels a et b strictement positifs,

lnalnbab.

Pour tout réel c,

ln(ec)=c.

Pour tout nombre réel x,

ex1>0ex>1              ln(ex)>ln1              x>0.

De même, ex10x0 et ex=1x=0.

Pour tout réel x0,  g(x)0, alors la fonction g est strictement décroissante sur  ; 0.

Pour tout réel x>0, g(x)>0, alors la fonction g est strictement croissante sur 0 ; +.

La fonction g admet alors un minimum en x=0. Ce minimum a pour valeur :

g(0)=e2×0e00=11=0.

c) Déterminer le sens de variation d'une suite

D'après la question 1. b), pour tout réel x, g(x)0. Ainsi, pour tout entier naturel n, g(un)0. Or, d'après l'énoncé, un+1un=g(un). Par conséquent, un+1un0, ce qui s'écrit également un+1un. La suite un est donc croissante.

2. a) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : un0.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation

Pour n=0, un=u0=a. Comme a est supposé être négatif ou nul, nous avons u00. Donc P(0) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k donné, soit uk0.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Par définition de la suite (un), uk+1=e2ukeuk qui peut aussi s'écrire uk+1=eukeuk1. Comme une exponentielle est toujours positive, euk>0, le signe de uk+1 correspond au signe de euk1. Or, par l'hypothèse de récurrence,

à noter

Pour tous réels a et b,abeaeb.

uk0  euke0  euk1 euk10.

Il en découle que uk+10 et la propriété P(k+1) est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel n, un0.

b) Justifier la convergence d'une suite

La suite un est croissante d'après la question 1. c) et majorée par zéro d'après la question 2. a). La suite un est donc convergente.

c) Déterminer la limite d'une suite

Supposons que le réel a est nul. D'après l'énoncé, le premier terme de la suite un est ainsi u0=a=0. Or, d'après la question 1. c), la suite un est croissante. Cela implique que pour tout entier naturel n, u0=0un. Mais, d'après la question 2. a), la suite un est majorée par zéro : pour tout entier naturel n, un0. Nous en concluons que tous les termes de la suite un sont nuls et par conséquent que la limite de cette suite est zéro.

3. a) Justifier une inégalité

Soit n un entier naturel. D'après la remarque faite à la question 1. c), nous avons : un+1un=g(un).

De plus, d'après l'affirmation de la question 3., una. Or, comme le réel a est strictement positif et que la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle 0 ; +, g(un)g(a). Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1ung(a).

b) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : una+n×g(a).

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation

Pour n=0, nous avons d'une part, un=u0=a et d'autre part, a+n×g(a)=a+0×g(a)=a. Comme aa, P(0) est vraie et la propriété est initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel kdonné : uka+k×g(a). Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Nous avons :

uk+1ukg(a) uk+1uk+g(a) (question précédente) uk+1(a+k×g(a))+g(a) (hypothèse de récurrence) uk+1a+(k+1)×g(a).

La propriété P(k+1) est ainsi vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel n, una+n×g(a).

c) Déterminer la limite d'une suite

D'après la question 1. b), la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle 0 ; + et elle admet sur ℝ zéro comme minimum, atteint en x=0. Le réel a étant strictement positif, nous en déduisons que g(a)>0.

à noter

Soit f une fonction strictement croissante sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I, si ab  alors  f(a)f(b).

Comme a>0 et g(a)>0, limn+a+n×g(a)=+.

Comme, d'après la question précédente, pour tout entier naturel n, una+n×g(a), nous en concluons par le théorème de comparaison, que limn+un=+.

4. a) Compléter un algorithme

La suite un étant croissante, le calcul des termes de cette suite doit se poursuivre jusqu'à obtenir le premier terme strictement supérieur à la valeur M saisie. Autrement dit, nous devons calculer successivement à l'aide de la formule de récurrence (pour tout n de ℕ, un+1=e2uneun) les termes de cette suite tant que ces derniers sont inférieurs ou égaux à la valeur M. La partie « Traitement » est ainsi :

Tableau de 3 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Traitement; Tant que u≤M; Ligne 2 : ; ; u prend la valeur e2u−eun prend la valeur n+1; Ligne 3 : ; Fin Tant que;

b) Déterminer une valeur affichée par un algorithme

À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons :

Tableau de 6 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : n ; u ; Condition; Ligne 2 : 0; 0,02; ≤ 60; Ligne 3 : ⋮; ⋮; ≤ 60; Ligne 4 : 34; 0,71; ≤ 60; Ligne 5 : 35; 2,13; ≤ 60; Ligne 6 : 36; 62,35; > 60;

La valeur affichée par l'algorithme est 36.

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