▶ 1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

En remarquant que ${\text{e}}^{2x}={\text{e}}^x\times {\text{e}}^x$, nous pouvons dire que $g$ est dérivable sur ℝ comme produit et somme de fonctions dérivables sur ℝ.

Pour tout $x$ de ℝ, nous avons : $g^{\prime }(x)=2\times {\text{e}}^{2x}-{\text{e}}^x-1$.

Pour tout réel $x$, nous avons :

$\begin{array}{l}\left({\text{e}}^x-1\right)\times \left(2{\text{e}}^x+1\right)={\text{e}}^x\times 2{\text{e}}^x+{\text{e}}^x\times 1-1\times 2{\text{e}}^x-1\times 1\\ =2{\text{e}}^{2x}-{\text{e}}^x-1\\ =g^{\prime }(x).\end{array}$

b) Déterminer les variations d'une fonction

Soit $x$un nombre réel.

Comme ${\text{e}}^x>0$, $2{\text{e}}^x+1\ge 1>0$. Or, d'après la question précédente, $g^{\prime }(x)=({\text{e}}^x-1)(2{\text{e}}^x+1)$. Le signe de $g^{\prime }(x)$ correspond donc au signe de ${\text{e}}^x-1$.

Pour tout nombre réel $x,$

$\begin{array}{c}{\text{e}}^x-1>0\iff {\text{e}}^x>1\\ \iff \ln ({\text{e}}^x)>\ln 1\\ \iff x>0.\end{array}$

De même, et ${\text{e}}^x=1\iff x=0$.

Pour tout réel $x<mn>0</mn>$, alors la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty ;0\right]$.

Pour tout réel $x>0$, $g^{\prime }(x)>0$, alors la fonction $g$ est strictement croissante sur $\left[0\text{ ; }+\infty \right[$.

La fonction $g$ admet alors un minimum en $x=0$. Ce minimum a pour valeur :

$g(0)={\text{e}}^{2\times 0}-{\text{e}}^0-0=1-1=0$.

c) Déterminer le sens de variation d'une suite

D'après la question 1. b), pour tout réel $x$, $g(x)\ge 0$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $g(u_n)\ge 0$. Or, d'après l'énoncé, $u_{n+1}-u_n=g(u_n)$. Par conséquent, $u_{n+1}-u_n\ge 0$, ce qui s'écrit également $u_{n+1}\ge u_n$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.

2. a) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : $u_n\le 0$.

Démontrons par récurrence que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n.$

Initialisation

Pour $n=0,$ $u_n=u_0=a.$ Comme $a$ est supposé être négatif ou nul, nous avons $u_0\le 0.$ Donc $P(0)$ est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété $P(k)$ soit vraie pour un entier naturel $k$ donné, soit $u_k\le 0.$

Démontrons que la propriété $P(k+1)$ est vraie. Par définition de la suite $(u_n),$ $u_{k+1}={\text{e}}^{2u_k}-{\text{e}}^{u_k}$ qui peut aussi s'écrire $u_{k+1}={\text{e}}^{u_k}\left({\text{e}}^{u_k}-1\right)$. Comme une exponentielle est toujours positive, ${\text{e}}^{u_k}>0$, le signe de $u_{k+1}$ correspond au signe de ${\text{e}}^{u_k}-1$. Or, par l'hypothèse de récurrence,

$\begin{array}{c}{u}_k\le 0\iff {\text{ e}}^{u_k}\le {\text{e}}^0\\ \iff {\text{ e}}^{u_k}\le 1\\ \iff {\text{ e}}^{u_k}-1\le 0.\end{array}$

Il en découle que $u_{k+1}\le 0$ et la propriété $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel $n,u_n\le 0.$

b) Justifier la convergence d'une suite

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante d'après la question 1. c) et majorée par zéro d'après la question 2. a). La suite $\left(u_n\right)$ est donc convergente.

c) Déterminer la limite d'une suite

Supposons que le réel $a$ est nul. D'après l'énoncé, le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$ est ainsi $u_0=a=0.$ Or, d'après la question 1. c), la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Cela implique que pour tout entier naturel $n,$ $u_0=0\le u_n.$ Mais, d'après la question 2. a), la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par zéro : pour tout entier naturel $n,$ $u_n\le 0.$ Nous en concluons que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont nuls et par conséquent que la limite de cette suite est zéro.

▶ 3. a) Justifier une inégalité

Soit $n$ un entier naturel. D'après la remarque faite à la question 1. c), nous avons : $u_{n+1}-u_n=g(u_n).$

De plus, d'après l'affirmation de la question 3., $u_n\ge a.$ Or, comme le réel $a$ est strictement positif et que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;\text{ +}\infty \right[,$ $g(u_n)\ge g(a).$ Ainsi, pour tout entier naturel $n,$ $u_{n+1}-u_n\ge g(a).$

b) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : $u_n\ge a+n\times g(a).$

Démontrons par récurrence que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n.$

Initialisation

Pour $n=0,$ nous avons d'une part, $u_n=u_0=a$ et d'autre part, $a+n\times g(a)=a+0\times g(a)=a.$ Comme $a\ge a,$ $P(0)$ est vraie et la propriété est initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété $P(k)$ soit vraie pour un entier naturel $k$donné : $u_k\ge a+k\times g(a).$ Démontrons que la propriété $P(k+1)$ est vraie. Nous avons :

$\begin{array}{c}{u}_{k+1}-u_k\ge g(a)\iff u_{k+1}\ge u_k+g(a)\text{ (question précédente)}\\ \Rightarrow u_{k+1}\ge (a+k\times g(a))+g(a)\text{ (hypothèse de récurrence)}\\ \Rightarrow u_{k+1}\ge a+(k+1)\times g(a).\end{array}$

La propriété $P(k+1)$ est ainsi vraie.

Conclusion

Pour tout entier naturel $n,u_n\ge a+n\times g(a).$

c) Déterminer la limite d'une suite

D'après la question 1. b), la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;\text{ +}\infty \right[$ et elle admet sur ℝ zéro comme minimum, atteint en $x=0.$ Le réel $a$ étant strictement positif, nous en déduisons que $g(a)>0$.

Comme $a>0$ et $g(a)>0,$ $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(a+n\times g(a)\right)=+\infty .$

Comme, d'après la question précédente, pour tout entier naturel $n,u_n\ge a+n\times g(a),$ nous en concluons par le théorème de comparaison, que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

▶ 4. a) Compléter un algorithme

La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, le calcul des termes de cette suite doit se poursuivre jusqu'à obtenir le premier terme strictement supérieur à la valeur $M$ saisie. Autrement dit, nous devons calculer successivement à l'aide de la formule de récurrence (pour tout $n$ de ℕ, $u_{n+1}={\text{e}}^{2u_n}-{\text{e}}^{u_n}$) les termes de cette suite tant que ces derniers sont inférieurs ou égaux à la valeur $M.$ La partie « Traitement » est ainsi :

b) Déterminer une valeur affichée par un algorithme

À l'aide d'une calculatrice, nous obtenons :

La valeur affichée par l'algorithme est 36.