Terminale générale Mathématiques Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

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Probabilités • Probabilités conditionnelles

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Probabilités conditionnelles

Un problème de bouteilles en verre consignées

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans ce sujet, à l’aide d’un arbre de probabilités, on construit une suite de probabilités qui décrit le comportement d’un consommateur. On cherche à caractériser cette suite arithmético-géométrique afin d’en déterminer le comportement à l’infini, puis en donner une interprétation dans le cadre du problème posé.

Chaque semaine, un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits. Dans un esprit de développement durable, il fait le choix de bouteilles en verre incassable et demande à ce que, chaque semaine, le client rapporte sa bouteille vide.

On suppose que le nombre de clients de l’agriculteur reste constant.

Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :

− à l’issue de la première semaine, la probabilité qu’un client rapporte la bouteille de son panier est 0,85 ;

− si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est 0,90 ;

− si le client n’a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu’il ramène la bouteille du panier la semaine suivante est 0,15.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l’agriculteur. Pour tout entier naturel n non nul, on note $R_{n}$ l’événement « le client rapporte la bouteille de son panier de la n-ième semaine ».

▶ 1. a) Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l’aide d’un arbre pondéré qui fera intervenir les événements R₁ et R₂.

b) Déterminer la probabilité que le client rapporte ses bouteilles des paniers de la première et de la deuxième semaine.

c) Montrer que la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la deuxième semaine est égale à 0,7875.

d) Sachant que le client a rapporté la bouteille de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu’il n’ait pas rapporté la bouteille de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$ .

▶ 2. Pour tout entier naturel n non nul, on note $r_{n}$ la probabilité que le client rapporte la bouteille du panier de la n-ième semaine. On a alors $r_{n} = P (R_{n})$ .

a) Recopier et compléter l’arbre pondéré (aucune justification n’est attendue) :

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b) Justifier que pour tout entier naturel n non nul, $r_{n + 1} = 0,75 r_{n} + 0,15$ .

c) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, $r_{n} = 0,25 \times {0,75}^{n - 1} + 0,6$ .

d) Calculer la limite de la suite ( $r_{n}$ ). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Les clés du sujet

▶ 1. b) On cherche $P (R_{1} \cap R_{2})$ .

c) Utilisez la formule des probabilités totales.

d) Utilisez la formule des probabilités conditionnelles.

▶ 2. a) Adaptez l’arbre de la question 1. a).

b) Utilisez les branches de l’arbre.

c) Utilisez un raisonnement par récurrence ou les propriétés des suites arithmético-géométriques.

d) On sait que si $- 1 < q < 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ .

▶ 1. a) Modéliser une situation par un arbre et exploiter les données des branches

L’arbre ci-dessous modélise la situation telle qu’elle est décrite par l’énoncé.

rappel

La somme des probabilités des branches de même racine est égale à 1.

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b) Lire une probabilité conditionnelle sur un arbre

La probabilité cherchée $P (R_{1} \cap R_{2})$ se lit sur la première branche de l’arbre :

$P (R_{1} \cap R_{2}) = P_{R_{1}} (R_{2}) P (R_{1}) = 0,9 \times 0,85 = 0,765$ .

c) On cherche $P (R_{2})$ . D’après la formule des probabilités totales :

$P (R_{2}) = P_{R_{1}} (R_{2}) P (R_{1}) + P_{{\bar{R}}_{1}} (R_{2}) P (\bar{R_{1}}) = 0,765 + 0,15 \times 0,15$

soit $P (R_{2}) = 0,7875$ .

d) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est $P_{R_{2}} (R_{1})$ avec :

$P_{R_{2}} (R_{1}) = \frac{P (R_{1} \cap R_{2})}{P (R_{2})} = \frac{0,765}{0,7875} \approx 0,971$ .

▶ 2. a) Modéliser une situation par un arbre

La probabilité que le client ramène, une semaine donnée, la bouteille du panier précédent est indépendante de la semaine considérée comme il est indiqué dans les deux derniers points du préambule. On en déduit l’arbre ci-dessous.

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b) Traduire une situation par une suite

On en déduit :

$r_{n + 1} = P (R_{n + 1}) = 0,9 r_{n} + 0,15 (1 - r_{n})$

$r_{n + 1} = 0,9 r_{n} + 0,15 - 0,15 r_{n}$

$r_{n + 1} = 0,75 r_{n} + 0,15$ .

c) Traiter une suite arithmético-géométrique de deux façons

On peut utiliser deux méthodes.

Raisonnements par récurrence

Notons $P_{n}$ la proposition « $r_{n} = 0,25 \times {0,75}^{n - 1} + 0,6$ ».

D’une part $r_{1} = P (R_{1}) = 0,85$ et d’autre part :

$0,25 \times {0,75}^{1 - 1} + 0,6 = 0,25 \times 1 + 0,6 = 0,85$ .

Donc $P_{1}$ est vraie.

Supposons que la proposition $P_{n}$ soit vraie pour un entier naturel n non nul et démontrons alors que $P_{n + 1}$ est vraie, c’est-à-dire $r_{n + 1} = 0,25 \times {0,75}^{n} + 0,6$ .

$r_{n + 1} = 0,75 r_{n} + 0,15$

$= 0,75 \underset{r_{n}}{\underset{︸}{(0,25 \times {0,75}^{n - 1} + 0,6)}} + 0,15$

$= 0,25 \times {0,75}^{n} + 0,75 \times 0,6 + 0,15$

$= 0,25 \times {0,75}^{n} + 0,45 + 0,15$

$= 0,25 \times {0,75}^{n} + 0,6$ .

Bilan : la proposition $P_{n}$ est vraie pour tout entier naturel non nul.

Propriétés des suites arithmético-géométriques

Cherchons le nombre $l$ tel que $l = 0,75 l + 0,15$ .

à noter

$l$ s’appelle le point fixe de la fonction $x \mapsto 0,75 x + 0,15$ .

On trouve $l = \frac{0,15}{0,25} = 0,6$ .

Pour tout $n \in ℕ$ on a donc :

$\{\begin{cases} r_{n + 1} = 0,75 r_{n} + 0,15 \\ 0,6 = 0,75 \times 0,6 + 0,15 . \end{cases}$

Par soustraction : $r_{n + 1} - 0,6 = 0,75 (r_{n} - 0,6)$ .

Si on pose $s_{n} = r_{n} - 0,6$ alors $s_{n + 1} = r_{n + 1} - 0,6$ et donc $s_{n + 1} = 0,75 s_{n}$ .

La suite $(s_{n})$ est donc une suite géométrique de raison 0,75.

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul $s_{n} = s_{1} \times {0,75}^{n - 1}$ . Comme $r_{1} = 0,85$ on a donc :

$r_{n} - 0,6 = (r_{1} - 0,6) \times {0,75}^{n - 1}$

$r_{n} = 0,6 + (0,85 - 0,6) \times {0,75}^{n - 1}$

$r_{n} = 0,6 + 0,25 \times {0,75}^{n - 1}$ .

d) Déterminer la limite d’une suite

$\lim_{n \to + \infty} r_{n} = 0,6 + 0,25 \times \lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n - 1}$ , or $\lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n - 1} = 0$ donc :

$\lim_{n \to + \infty} r_{n} = 0,6$ .

Dans le contexte de l’énoncé, on peut dire qu’il y a pratiquement 6 chances sur 10 pour que le client rapporte la bouteille de son panier de la n-ième semaine, pourvu que n soit suffisamment grand.