Un problème de taille

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2015

Exercice 3 • 3 points

Un problème de taille

Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d’espérance μ1 = 165 cm et d’écart type σ1 = 6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire X2 suivant la loi normale d’espérance μ2 = 175 cm et d’écart type σ2 = 11 cm. Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10–2 près.

1. Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre ?

2. a) Déterminer la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre.

b) De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de 1,70 m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités conditionnelles • Loi normale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Arbre pondéré  E37 2. b)

Probabilité conditionnelle  E35 2. b)

Lois normales  E40e 1. et 2.

Calculatrice

Probabilités avec une loi normale  C3 1. et 2.

Nos coups de pouce

2. b) Calculez tout d’abord la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Aidez-vous ensuite d’un arbre pondéré pour déterminer la probabilité qu’une personne dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans mesure plus de 1,70 m. Concluez à l’aide de la définition d’une probabilité conditionnelle.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer une probabilité avec une loi normale

Remarquons tout d’abord que 1,53 m = 153 cm et que 1,77 m = 177 cm.

La probabilité demandée est donc 2045389-Eqn132.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_13_00C_10

matT_1506_13_00C_11

Deuxième méthode

Nous avons :

Notez bien

Si 2045389-Eqn133 suit la loi normale d’espérance 2045389-Eqn134 et d’écart type 2045389-Eqn135 alors :

2045389-Eqn136.

2045389-Eqn137

La probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 m et 1,77 m est d’environ 0,95.

2. a) Calculer une probabilité avec une loi normale

Remarquons tout d’abord que 1,70 m = 170 cm.

La probabilité demandée est donc 2045389-Eqn138.

matT_1506_13_00C_08

D’après le graphique ci-dessus, nous avons donc : 2045389-Eqn139.

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_13_00C_12

matT_1506_13_00C_13

La probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,68.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

Déterminons tout d’abord la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Nous devons calculer pour cela 2045389-Eqn140.

matT_1506_13_00C_09

D’après le graphique ci-dessus, nous avons donc :

2045389-Eqn141.

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_13_00C_14

matT_1506_13_00C_15

La probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,20.

Considérons maintenant les événements suivants :

F : « la personne choisie est une femme » ;

H : « la personne choisie est un homme » ;

T : « la personne choisie mesure plus de 1,70 m ».

Nous devons déterminer la probabilité qu’une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m.

Cette probabilité est la probabilité conditionnelle 2045389-Eqn142.

Traduisons la situation proposée à l’aide d’un arbre pondéré.

Les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons par conséquent 2045389-Eqn143.

Les hommes représentent donc 48 % de la population des personnes dont l’âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons ainsi 2045389-Eqn144.

D’après la question 2. a), la probabilité qu’un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,68. Nous avons donc 2045389-Eqn145.

D’après le point précédent, la probabilité qu’une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,20. Nous avons donc 2045389-Eqn146.

Pour plus de commodités, nous noterons 2045389-Eqn147 et 2045389-Eqn148 dans toute la suite de cette question.

Nous obtenons :

Notez bien !

La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

matT_1506_13_00C_16

Grâce à l’arbre pondéré, nous pouvons écrire que la probabilité qu’une personne choisie mesure plus de 1,70 m est :

2045389-Eqn149

Par conséquent, nous avons :

2045389-Eqn150.

La probabilité qu’une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m est d’environ 0,24.