Loi de probabilité à densité
matT_1506_13_05C
Ens. spécifique
31
Polynésie française • Juin 2015
Exercice 3 • 3 points
Un problème de taille
Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d'espérance μ1 = 165 cm et d'écart type σ1 = 6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire X2 suivant la loi normale d'espérance μ2 = 175 cm et d'écart type σ2 = 11 cm. Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10–2 près.
▶ 1. Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 mètre et 1,77 mètre ?
▶ 2. a) Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 mètre.
b) De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de 1,70 m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités conditionnelles • Loi normale.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Arbre pondéré E37 → 2. b)
Probabilité conditionnelle E35 → 2. b)
Lois normales E40e → 1. et 2.
Calculatrice
Probabilités avec une loi normale C3 → 1. et 2.
Nos coups de pouce
▶ 2. b) Calculez tout d'abord la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Aidez-vous ensuite d'un arbre pondéré pour déterminer la probabilité qu'une personne dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans mesure plus de 1,70 m. Concluez à l'aide de la définition d'une probabilité conditionnelle.
Corrigé
▶ 1. Calculer une probabilité avec une loi normale
Remarquons tout d'abord que 1,53 m = 153 cm et que 1,77 m = 177 cm.
La probabilité demandée est donc 
.
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
Deuxième méthode
Nous avons :
Notez bien
Si 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
alors :
.
La probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53 m et 1,77 m est d'environ 0,95.
▶ 2. a) Calculer une probabilité avec une loi normale
Remarquons tout d'abord que 1,70 m = 170 cm.
La probabilité demandée est donc 
.
D'après le graphique ci-dessus, nous avons donc : 
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
La probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d'environ 0,68.
b) Calculer une probabilité conditionnelle
Déterminons tout d'abord la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m. Nous devons calculer pour cela 
.
D'après le graphique ci-dessus, nous avons donc :
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
La probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d'environ 0,20.
Considérons maintenant les événements suivants :
F : « la personne choisie est une femme »
H : « la personne choisie est un homme »
T : « la personne choisie mesure plus de 1,70 m ».
Nous devons déterminer la probabilité qu'une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m.
Cette probabilité est la probabilité conditionnelle 
.
Traduisons la situation proposée à l'aide d'un arbre pondéré.
Les femmes représentent 52 % de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons par conséquent 
.
Les hommes représentent donc 48 % de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans : nous avons ainsi 
.
D'après la question 2. a), la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d'environ 0,68. Nous avons donc 
.
D'après le point précédent, la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70 m est d'environ 0,20. Nous avons donc 
.
Pour plus de commodités, nous noterons 
et 
dans toute la suite de cette question.
Nous obtenons :
Notez bien !
La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Grâce à l'arbre pondéré, nous pouvons écrire que la probabilité qu'une personne choisie mesure plus de 1,70 m est :
Par conséquent, nous avons :
.
La probabilité qu'une personne choisie soit une femme sachant que cette personne mesure plus de 1,70 m est d'environ 0,24.