Un programme de calcul

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Écrire et exécuter un programme simple
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Algorithmique

Exercice • 7 points

Un programme de calcul

On considère le programme de calcul ci-dessous :

Choisir un nombre de départ

Multiplier ce nombre par (−2)

Ajouter 4 au produit

Multiplier le résultat par 4

Écrire le résultat obtenu

1. a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 0.

b) Arthur écrit le script suivant à l’aide du logiciel Scratch :

Mat3_1600_00_36C_01

Quels nombres prennent les variables y, z et résultat ? Ce script correspond-il au programme de calcul ?

2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 8 ?

3. Arthur émet la conjecture suivante : pour n’importe quel nombre de départ x, une expression permet d’obtenir le résultat du programme de calcul. Il écrit le script suivant pour vérifier cette conjecture.

Mat3_1600_00_36C_02

Quelle est cette conjecture ?

A-t-il raison ? On attend ici une démonstration.

Les clés du sujet

Points du programme

Lecture d’un algorithme informatique.

Nos coups de pouce

1. a) On doit effectuer les opérations successivement.

b) Observe que y prend la valeur x × (−2). Remplace x par sa valeur et effectue le produit. Procède de même pour les autres variables. Compare ces résultats à ceux trouvés au 1. a).

2. La dernière opération est une multiplication par 4. Commence par diviser 8 par 4. Souviens- toi que la soustraction est l’opération réciproque de l’addition.

3. Observe la ligne « mettre conjecture à ». Souviens-toi que pour un produit dans Scratch, on ne met pas de parenthèses.

Pour vérifier la conjecture, appelle x le nombre de départ. Applique à x le programme de calcul sans oublier les parenthèses indispensables.

Développe l’expression correspondant à la conjecture d’Arthur, puis ­compare les deux expressions.

Corrigé

Corrigé

1. a) On obtient le calcul suivant :

(2 × (−2) + 4) × 4 = (−4 + 4) × 4 = 0 × 4 = Sujet64-Eqn1.

b) y prend la valeur Sujet64-Eqn2, z prend la valeur Sujet64-Eqn3, puis résultat prend la valeur Sujet64-Eqn4.

Les variables y, z et résultat prennent comme valeur le résultat des opérations du programme de calcul, donc ce script correspond bien au programme de calcul.

2. On divise 8 par 4, on obtient 2. On soustrait 4 à ce résultat, on obtient −2. Puis on divise par −2, on obtient finalement 1 Sujet64-Eqn5.

Rappel

Une conjecture est une affirmation qui n’est pas encore vérifiée.

3. La ligne « mettre conjecture à » donne l’expression (x – 4) × (x – 4) – x × x.

On appelle x le nombre de départ et on applique à x le programme de calcul, on obtient :

(−2 × x + 4) × 4 = 4(−2x + 4) = −8x + 16.

On développe l’expression correspondant à la conjecture d’Arthur :

(x – 4) × (x – 4) – x × = x2 −4x −4x + 16 – x2 = −8x + 16.

Les deux expressions sont égales, la conjecture d’Arthur est bien vérifiée.