Un programme de calcul

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la notion de fonction
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Nouvelle-Calédonie

Nouvelle-Calédonie • Décembre 2017

Exercice 2 • 7 points

Un programme de calcul

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Ajouter 1 à ce nombre.

Calculer le carré du résultat.

Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

Écrire le résultat.

1. On choisit 4 comme nombre de départ. Prouver par le calcul que le résultat obtenu avec le programme est 9.

2. On note x le nombre choisi.

a) Exprimer le résultat du programme en fonction de x.

b) Prouver que ce résultat est égal à 2x + 1.

3. Soit f la fonction définie par f(x= 2x + 1.

a) Calculer l’image de 0 par f.

b) Déterminer par le calcul l’antécédent de 5 par f.

c) Tracer la droite représentative de la fonction f dans le repère suivant.

mat3_1712_11_03C_01

d) Par lecture graphique, déterminer le résultat obtenu en choisissant − 3 comme nombre de départ dans le programme de calcul. Laisser les traits de construction apparents.

Les clés du sujet

Points du programme

Notion de fonction • Représentation graphique.

Nos coups de pouce

1. et 2. Effectue successivement et dans l’ordre indiqué les différents calculs du programme.

3. a) Calcule f(0).

b) Résous l’équation f(x)=5.

c) La fonction est affine. Sa représentation graphique est une droite. Deux points permettent de la tracer.

d) Lis l’ordonnée du point situé sur la représentation graphique de la fonction f et d’abscisse – 3.

Corrigé

Corrigé

1. Le nombre choisi est 4.

On lui ajoute 1 : on obtient 5.

On calcule le carré du résultat : on trouve 52, c’est-à-dire 25.

On soustrait le carré du nombre de départ (c’est-à-dire 42 ou encore 16) : on trouve 9.

Le résultat final obtenu est donc 9.

2. a) Le nombre choisi est x.

On lui ajoute 1 : on obtient x+1.

On calcule le carré du résultat : on trouve (x+1)2.

On soustrait le carré du nombre de départ (c’est-à-dire x2) : on trouve(x+1)2x2.

b) Simplifions (x+1)2x2.

Pour ce faire, utilisons l’identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2.

Alors (x+1)2x2=(x2+2x+1)x2=2x+1.

Le résultat final est bien 2x+1.

3. a) Calculons f(0).

f(0)=2×0+1=1

Conclusion : l’image de 0 par f est 1.

b) Résolvons l’équation f(x)=5 ou encore 2x+1=5.

Il vient 2x=4, c’est-à-dire x=2.

Conclusion : l’antécédent de 5 par f est 2.

c) La fonction f est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite. Cette droite passe par les points A(0;1) et B(2;5).

mat3_1712_11_03C_02

attention

Le nombre choisi est l’abscisse d’un point de la droite, le résultat obtenu est son ordonnée.

d) Nous lisons que l’ordonnée du point P situé sur la droite (AB) et d’abscisse – 3 est égale à – 5.

Conclusion : si l’on choisit le nombre – 3 alors le résultat obtenu est – 5.