Maths
mat3_1600_00_36C
Écrire et exécuter un programme simple
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Sujet inédit • Algorithmique
Exercice • 7 points
Un programme de calcul
On considère le programme de calcul ci-dessous :
| Choisir un nombre de départ Multiplier ce nombre par (−2) Ajouter 4 au produit Multiplier le résultat par 4 Écrire le résultat obtenu |
▶ 1. a) Vérifier que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 0.
b) Arthur écrit le script suivant à l'aide du logiciel Scratch :
Quels nombres prennent les variables y, z et résultat ? Ce script correspond-il au programme de calcul ?
▶ 2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 8 ?
▶ 3. Arthur émet la conjecture suivante : pour n'importe quel nombre de départ x, une expression permet d'obtenir le résultat du programme de calcul. Il écrit le script suivant pour vérifier cette conjecture.
Quelle est cette conjecture ?
A-t-il raison ? On attend ici une démonstration.
Les clés du sujet
Points du programme
Lecture d'un algorithme informatique.
Nos coups de pouce
▶ 1. a) On doit effectuer les opérations successivement.
b) Observe que y prend la valeur x × (−2). Remplace x par sa valeur et effectue le produit. Procède de même pour les autres variables. Compare ces résultats à ceux trouvés au 1. a).
▶ 2. La dernière opération est une multiplication par 4. Commence par diviser 8 par 4. Souviens- toi que la soustraction est l'opération réciproque de l'addition.
▶ 3. Observe la ligne « mettre conjecture à ». Souviens-toi que pour un produit dans Scratch, on ne met pas de parenthèses.
Pour vérifier la conjecture, appelle x le nombre de départ. Applique à x le programme de calcul sans oublier les parenthèses indispensables.
Développe l'expression correspondant à la conjecture d'Arthur, puis compare les deux expressions.
Corrigé
▶ 1. a) On obtient le calcul suivant :
(2 × (−2) + 4) × 4 = (−4 + 4) × 4 = 0 × 4 = 
.
b) y prend la valeur 
, z prend la valeur 
, puis résultat prend la valeur 
.
Les variables y, z et résultat prennent comme valeur le résultat des opérations du programme de calcul, donc ce script correspond bien au programme de calcul.
▶ 2. On divise 8 par 4, on obtient 2. On soustrait 4 à ce résultat, on obtient −2. Puis on divise par −2, on obtient finalement 1 
.
Rappel
Une conjecture est une affirmation qui n'est pas encore vérifiée.
▶ 3. La ligne « mettre conjecture à » donne l'expression (x – 4) × (x – 4) – x × x.
On appelle x le nombre de départ et on applique à x le programme de calcul, on obtient :
(−2 × x + 4) × 4 = 4(−2x + 4) = −8x + 16.
On développe l'expression correspondant à la conjecture d'Arthur :
(x – 4) × (x – 4) – x × x = x2 −4x −4x + 16 – x2 = −8x + 16.
Les deux expressions sont égales, la conjecture d'Arthur est bien vérifiée.