Troisième Mathématiques Utiliser le calcul littéral

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Utiliser le calcul littéral

mat3_2109_07_02C

France métropolitaine • Septembre 2021

Un programme de calcul carré

exercice 3

20 min

20 points

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

On considère le programme de calcul ci-dessous.

Choisir un nombre.

Ajouter 2 à ce nombre.

Prendre le carré du résultat précédent.

Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

On a utilisé la feuille de calcul ci-dessous pour appliquer ce programme de calcul au nombre 5 ; le résultat obtenu est 24.

Tableau de 6 lignes, 3 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : 1; Programme; Résultat; Ligne 2 : 2; Choisir un nombre; 5; Ligne 3 : 3; Ajouter 2 à ce nombre; 7; Ligne 4 : 4; Prendre le carré du résultat précédent; 49; Ligne 5 : 5; Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent; 24;

▶ 1. Pour les questions suivantes, faire apparaître les calculs sur la copie.

a) Si on choisit 2 comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient 12 comme résultat.

b) Si on choisit – 8 comme nombre de départ, quel résultat obtient-on ?

▶ 2. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule B5.

Tableau de 1 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : = B4 – B2 * B2; = B2 + 2; = B3 * B3;

▶ 3. a) Si l’on choisit x comme nombre de départ, exprimer en fonction de x le résultat final de ce programme de calcul.

b) Montrer que ${(x + 2)}^{2} - x^{2} = 4 x + 4$ .

▶ 4. Si on choisit un nombre entier au départ, est-il exact que le résultat du programme est toujours un multiple de 4 ? Justifier.

Les clés du sujet

L’intérêt du sujet

Cet exercice te permet de réviser une bonne partie du calcul littéral de collège.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Calculer avec un programme; Suis chaque instruction, ligne par ligne.; Ligne 2 : ▶ 2. Déterminer une formule dans un tableur; Il s’agit de soustraire à la valeur dans B4 le carré de la valeur de départ.; Ligne 3 : ▶ 3. a) Donner la forme générale d’un programme de calcul; Refais les calculs de la question 1. en remplaçant la valeur donnée par x.; Ligne 4 : b) Connaître les identités remarquables; Développe l’identité remarquable avec la formule : (a+b)2=a2+2ab+b2.; Ligne 5 : ▶ 4. Factoriser une expression littérale; Factorise par 4 l’expression trouvée.;

▶ 1. a) Voici les étapes de calcul :

2 + 2 = 4

$4^{2} = 16$

$16 - 2^{2} = 16 - 4 = 12$

On obtient bien 12 en partant de 2.

b) Voici les étapes de calcul :

- 8

- 8 + 2 = - 6

${(- 6)}^{2} = 36$

$36 - {(- 8)}^{2} = 36 - 64 = - 28$

On obtient – 28 en partant de – 8.

▶ 2. La formule attendue est « = B4 – B2 * B2 ».

▶ 3. a) Prenons x comme nombre de départ ; voici les étapes de calcul :

x + 2

${(x + 2)}^{2}$

${(x + 2)}^{2} - x^{2}$

b) On calcule :

${(x + 2)}^{2} - x^{2} = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} = 4 x + 4$ .

▶ 4. Le résultat final se factorise ainsi : 4x + 4 = 4(x + 1).

Donc le résultat final est toujours un multiple de 4.

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