▶ 1. a) Donner les coordonnées d’un vecteur normal à un plan

Le plan $P$₁ a pour équation cartésienne 2x + y - z + 2 = 0, donc il a pour vecteur normal $\overrightarrow{n_1}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$.

b) Montrer que deux plans sont perpendiculaires

Le plan $P$₂ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n_2}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$.

$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2-1-1=0$. Les vecteurs $\overrightarrow{n_1} \text{et} \overrightarrow{n_2}$ sont orthogonaux, donc les plans $P_1 \text{et} P_2$ sont perpendiculaires.

▶ 2. a) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Puisque $\overrightarrow{n_2}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $P$₂, ce plan a pour équation cartésienne x - y + z + d = 0.

Les coordonnées de $\text{B}\left(1 ;\text{ 1} ;\text{ 2}\right)$ vérifient cette équation, donc 2 + d = 0, soit d = - 2 et $P$₂ admet pour équation cartésienne $x-y+z-2=0$.

b) Montrer qu’une droite est l’intersection de deux plans sécants

Soit M un point de Δ. Il existe un réel t tel que M ait pour coordonnées $\left(0 ; -2+t ; t\right)$.

On remplace dans l’équation cartésienne de $P$₁ :

- 2 + t - t + 2 = 0 pour tout réel t, donc tout point de Δ appartient à $P$₁, Δ ⊂ $P$₁.

De même, on remplace dans l’équation cartésienne de $P$₂ :

2 - t + t - 2 = 0 pour tout réel t, donc tout point de Δ appartient à $P$₂, Δ ⊂ $P$₂.

Les deux plans $P$₁ et $P$₂ sont sécants (car perpendiculaires) et la droite Δ est contenue dans chacun de ces deux plans, donc $\text{Δ}$ est la droite d’intersection des plans $P_1$ et $P_2$.

▶ 3. a) Calculer la distance de deux points de l’espace

On a $\text{A}\left(1;\text{ 1 };\text{ 1}\right)$ et ${\text{M}}_t\left(0;-2+t;t\right)$, donc :

${\text{AM}}_t=\sqrt[]{1+{\left(t-3\right)}^2+{\left(t-1\right)}^2}$

${\text{AM}}_t=\sqrt[]{1+t^2-6t+9+t^2-2t+1}$

soit ${\text{AM}}_t=\sqrt[]{2t^2-8t+11}$.

b) Calculer la distance d’un point à un plan

Puisque H est le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ, la distance AH est la distance du point A à la droite Δ, c’est-à-dire la plus courte distance entre le point A et un point de la droite Δ.

On cherche donc la valeur de t pour laquelle la distance AM_t est minimale.

Or, la distance AM_t est minimale lorsque ${\text{AM}}_t^2$ est minimal.

Pour tout réel t, on pose $f\left(t\right)={\text{AM}}_t^2=2t^2-8t+11$ et on cherche pour quelle valeur du réel t la fonction f admet son minimum.

Pour tout réel t, $f^{\prime }\left(t\right)=4t-8=4\left(t-2\right)$.

$f^{\prime }\left(2\right)=0$, $f^{\prime }\left(t\right)<0$ si < 2, $f^{\prime }\left(t\right)>0$ si t > 2.

Donc le minimum de f sur ℝ est atteint en t = 2 et M₂ = H.

${\text{AH}}^2=f\left(2\right)=8-16+11=3$, donc $\text{AH}=\sqrt[]{3}$.

▶ 4. a) Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

La droite $D$₁ est orthogonale au plan $P$₁, donc elle a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n_1}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$ normal au plan $P$₁, et elle passe par le point $\text{A}\left(1 ;\text{ 1} ;\text{ 1}\right)$.

Donc $D$₁ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{array}\right., t\in \text{ℝ}$. 

b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan

H₁ est le point d’intersection de la droite $D$₁ et du plan $P$₁.

Ses coordonnées sont de la forme $\left(1+2t ;\text{ 1}+t ;\text{ 1}-t\right)$ et vérifient l’équation cartésienne de $P$₁, d’où :

$2\left(1+2t\right)+1+t-1+t+2=0$.

Cette équation équivaut à 6t + 4 = 0, soit $t=-\frac{2}{3}$.

Le projeté orthogonal H₁ de A sur le plan $P$₁ a donc pour coordonnées $\left(1+2\times \left(-\frac{2}{3}\right) ;\text{ 1}-\frac{2}{3} ;\text{ 1}+\frac{2}{3}\right)$, c’est-à-dire $\left(-\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{5}{3}\right)$.

Le projeté orthogonal de $\text{A}$ sur le plan $P_1$ est donc bien ${\text{H}}_1\left(-\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{5}{3}\right)$.

▶ 5. Montrer qu’un quadrilatère est un rectangle

Puisque H est le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ, les droites (AH) et Δ sont orthogonales (et même perpendiculaires en H).

Puisque H₁ et H₂ sont les projetés orthogonaux respectifs de A sur les plans $P$₁ et $P$₂, la droite (AH₁) est orthogonale au plan $P$₁, donc à toute droite de ce plan, donc à la droite Δ ; et de même, la droite (AH₂) est orthogonale au plan $P$₂, donc à toute droite de ce plan, donc à la droite Δ.

Les droites (AH), (AH₁) et (AH₂) sont toutes les trois orthogonales à la droite Δ et passent par A, donc elles sont contenues dans le plan orthogonal à Δ passant par A. Elles sont donc coplanaires et les quatre points A, H₁, H et H₂ sont coplanaires.

De plus :

(AH₁) est orthogonale à toute droite du plan $P$₁, donc à la droite (HH₁) ;

(AH₂) est orthogonale à toute droite du plan $P$₂, donc à la droite (HH₂) ;

la droite (AH₁) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n_1}$, la droite (AH₂) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n_2}$ et les vecteurs $\overrightarrow{n_1} \text{et} \overrightarrow{n_2}$ sont orthogonaux, donc les droites (AH₁) et (AH₂) sont orthogonales.

Donc les points A, H₁, H et H₂ sont quatre points coplanaires qui sont les sommets d’un quadrilatère ayant quatre angles droits, donc le quadrilatère ${\text{AH}}_1{\text{HH}}_2$ est un rectangle.