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SPRINT FINAL
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Sujet complet 2 • Exercice 2
Sujet spécimen 2021 n° 2 • exercice 2
Un système de détection de passager
Intérêt du sujet • Le circuit RC série est un circuit de base qui sert dans des centaines de dispositifs : sonnettes, interrupteurs lumineux, airbag, alarmes, etc. Ici, c'est pour un détecteur de présence sur un siège de voiture qu'il est utilisé : c'est le bip de ce détecteur que l'on entend lorsqu'on n'a pas encore attaché sa ceinture de sécurité !
Pour renforcer la sécurité routière, les voitures sont équipées d'un système de détection de la présence d'un passager pour lui signaler si sa ceinture de sécurité est bien attachée.
Figure 1. Schéma de l'installation d'un capteur capacitif dans l'assise d'un siège de voiture
Dans le cadre d'un projet scientifique, un groupe d'élèves réalise un système de détection semblable à celui d'une voiture. Il est composé d'un capteur de pression capacitif « artisanal » associé à un microcontrôleur.
Ph © D.R.
Figure 2. Photographie d'une face du capteur de pression capacitif « artisanal »
Le condensateur « artisanal » est constitué de deux feuilles d'aluminium séparées par une feuille de papier isolante. Lorsqu'un objet de masse m est posé dessus, il exerce une pression sur les deux feuilles d'aluminium et les déforme, ce qui modifie la capacité électrique du condensateur. Après un traitement numérique des signaux électriques, le microcontrôleur peut détecter la présence de l'objet.
L'objectif de cet exercice est d'illustrer le principe de fonctionnement d'un tel capteur.
Partie 1. Étude du capteur de pression capacitif « artisanal » ⏱ 15 min
Le capteur de pression capacitif « artisanal » est représenté en coupe à la figure 3.
Figure 3
▶ 1. Justifier l'utilisation de l'adjectif « capacitif » dans l'expression « capteur de pression capacitif » couramment utilisée pour désigner ce genre de capteurs. (0,5 point)
▶ 2. Si le capteur est soumis à une tension positive constante UAB entre ses bornes A et B, des charges électriques apparaissent sur chacune des feuilles, notées QA sur la feuille d'aluminium A et QB sur la feuille d'aluminium B. On note C la capacité électrique de ce capteur. Donner l'expression littérale de la charge QA puis celle de la charge QB en fonction de C et UAB. (0,5 point)
▶ 3. La capacité électrique C d'un tel capteur s'écrit avec S la surface en regard des feuilles d'aluminium, e l'épaisseur de la feuille de papier isolante et ε une constante caractéristique de la feuille de papier isolante. Indiquer, en justifiant la réponse, le sens de variation de la capacité électrique C du capteur quand un objet est posé sur le condensateur « artisanal ». (0,5 point)
Partie 2. Modélisation du circuit de la chaîne de mesure ⏱ 20 min
La détection de la variation de la capacité électrique C du capteur est réalisée par un circuit électrique appelé la chaîne de mesure. Le circuit électrique associé peut se modéliser par le circuit schématisé ci-dessous.
Figure 4. Schéma du circuit électrique
Le générateur de ce circuit est un générateur idéal de tension E. Le condensateur modélise le capteur de pression capacitif « artisanal » installé dans l'assise du siège du véhicule. La mesure de la tension aux bornes du condensateur, notée uC(t), est réalisée en permanence par un microcontrôleur qui n'est pas représenté sur le schéma. La résistance R est celle d'un conducteur ohmique. Le capteur de pression capacitif « artisanal » possède une capacité électrique C variable, selon que le capteur est soumis ou non à une pression extérieure. Le commutateur possède deux positions notées 1 et 2 et joue le rôle d'un interrupteur fermé sur la position 1 ou sur la position 2.
On considère que l'interrupteur est dans la position 1 depuis un temps très long, et que les paramètres E, C et R sont constants. À la date t = 0 s, uC(0) = E et l'interrupteur est basculé dans la position 2.
▶ 1. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension uC(t) aux bornes du condensateur pour t ≥ 0 et l'écrire sous la forme : . Exprimer τ en fonction de R et C. (1 point)
▶ 2. Vérifier que est solution de l'équation différentielle et exprimer A en fonction de E. (0,5 point)
▶ 3. Montrer que le condensateur est déchargé à la date t = 5 τ. On considère que le condensateur est déchargé lorsque la tension uC(t) devient égale à 1 % de sa valeur initiale. (0,5 point)
Partie 3. Test expérimental de la chaîne de mesure ⏱ 15 min
Pour tester cette chaîne de mesure qui permet de détecter la présence d'une pression exercée sur le capteur, on réalise le circuit étudié précédemment. La commutation est réalisée automatiquement par le microcontrôleur.
On réalise l'expérience suivante :
Ph © D.R.
Figure 5. Dispositif sans pression
Ph © D.R.
Figure 6. Dispositif avec pression
Un premier essai est conduit sans qu'aucune pression ne soit exercée sur le capteur (figure 5). Le microcontrôleur mesure la tension uC(t) au cours du temps aux bornes du capteur capacitif.
Un second essai est réalisé au cours duquel une masse (ici un verre rempli d'eau) est posée sur le capteur (figure 6). De nouveau, on mesure la tension uC(t) au cours du temps aux bornes du capteur capacitif.
Données
Tension du générateur idéal : E = 5 V.
Résistance du conducteur ohmique : R = 10 MΩ.
Épaisseur de la feuille de papier isolante sans pression : e = 1,0 × 10–4 m.
Les séries de mesures, obtenues lors de ces deux essais, sont présentées sur le même graphique ci-dessous (figure 7). La date t = 0 s correspond au passage du commutateur de la position 1 à 2 (figure 4).
Figure 7. Évolution de uC mesurée en fonction du temps lors des deux essais
▶ 1. Parmi les deux séries de mesures précédentes, représentées soit par ▲ soit par ■, associer celle qui correspond au dispositif sans pression et celle qui correspond au dispositif avec pression. Justifier. (0,5 point)
On considère que la variation de capacité électrique ΔC est liée à la variation d'épaisseur Δe par la relation : .
▶ 2. Déterminer la valeur de la variation d'épaisseur Δe, après avoir évalué la variation de capacité électrique ΔC. (1 point)
Les clés du sujet
Le lien avec le programme
Les conseils du correcteur
Partie 1. Étude du capteur de pression capacitif « artisanal »
▶ 1. Connaître les propriétés d'un condensateur
La capacité est l'une des caractéristiques d'un condensateur électrique (ou électrostatique). Or elle dépend de la géométrie du condensateur et, notamment pour un condensateur constitué de deux armatures planes comme ici, elle dépend de la distance entre ces armatures.
La variation de pression est déduite de la variation de l'écartement entre les deux feuilles d'aluminium elle-même déduite de la variation de la capacité du condensateur.
▶ 2. Connaître la relation entre capacité et charge des armatures
D'après l'orientation positive de la tension UAB on peut écrire : QA = C × UAB et QB = – C × UAB.
▶ 3. Justifier la variation d'une grandeur
attention
La proportionnalité n'implique la croissance d'une fonction que si le coefficient est positif.
Si un objet est posé sur le dispositif, la pression déforme les feuilles d'aluminium et la distance e diminue. Or si e diminue, la capacité C augmente car C est inversement proportionnelle à e (avec un coefficient de proportionnalité positif).
Partie 2. Modélisation du circuit de la chaîne de mesure
▶ 1. Établir l'équation différentielle de décharge d'un condensateur
à noter
Il s'agit ici de l'établissement de l'équation différentielle d'un circuit de type RC (en décharge). C'est une démonstration extrêmement classique (à connaître par cœur).
La loi d'additivité des tensions nous permet d'écrire qu'à partir de t ≥ 0, on a :
uR(t) + uC(t) = 0.
De plus, la loi d'Ohm appliquée au conducteur ohmique de résistance R nous donne uR(t) = R × i(t) et, par définition de l'intensité circulant dans le circuit, on a i(t) = .
D'où uR(t) + uC(t) = 0 devient R × i(t) + uC(t) = 0
puis R × + uC(t) = 0.
Or QA(t) = C × uC(t) d'où l'équation différentielle :
R × + uC(t) = 0
Enfin, étant donné que C est une constante, on peut le « sortir » de la dérivée par rapport au temps et écrire :
RC × + uC(t) = 0
Cela correspond bien à l'équation proposée : en posant = RC (il y a équivalence car RC est non nul).
▶ 2. Vérifier une solution d'équation différentielle
à noter
Même si vous n'avez pas réussi à répondre à la question 1 de la partie 2, vous pouvez faire la question 2 (beaucoup plus simple) en prenant le résultat attendu et donné dans la question 1.
On insère la solution envisagée dans l'équation pour vérifier qu'elle est bien une solution.
Si alors sa dérivée est : .
Ainsi, RC × + uC(t) = 0 devient RC × + = 0.
Comme A est non nul, cela permet de simplifier et d'écrire : + = 0.
Et comme τ = RC,
Ainsi, l'équation différentielle devient pour tout t ≥ 0 : ce qui est toujours vérifié donc la solution proposée est effectivement solution de l'équation différentielle.
D'après cette solution, or on sait que uC(0) = E donc A = E.
▶ 3. Démontrer la décharge effective d'un condensateur
Pour t = 5 τ, la valeur de la tension aux bornes du condensateur est
uC(5) = .
À 5τ, la valeur de la tension n'atteint plus que 0,67 % de sa valeur initiale, donc on peut considérer que le condensateur est déchargé.
Partie 3. Test expérimental de la chaîne de mesure
▶ 1. Identifier plusieurs séries de mesures
La différence pour le capteur entre le dispositif avec et celui sans pression est l'espacement des feuilles d'aluminium. Pour le dispositif avec pression, l'espacement e est plus faible or cela entraîne une capacité C plus grande (réponse à la question 3 de la partie 1). De plus, si C est plus grande, alors la constante de temps τ sera plus grande car τ = RC et R est inchangée entre les deux expériences.
Enfin, on sait que plus la constante de temps est grande, plus un condensateur se décharge lentement.
On peut alors identifier avec certitude la courbe symbolisée avec les carrés comme étant celle correspondant au dispositif sans pression. Par élimination, celle représentée avec des triangles est celle du dispositif avec pression.
▶ 2. Déterminer la valeur d'un paramètre expérimental
À partir des courbes de la figure 7, on peut déterminer les constantes de temps des circuits avec et sans pression.
En effet, l'intersection entre les tangentes initiales à ces courbes et l'axe des abscisses permet d'évaluer les deux valeurs de τ.
tavec pression = 160 s et tsans pression = 120 s.
Or , ce qui permet de déduire les capacités des deux dispositifs :
Cavec pression = et Csans pression = .
La variation de capacité est donc de 4 µF.
On utilise alors la relation donnée pour déterminer la variation d'épaisseur :
Δe = .
Le conseil de méthode
Pour déterminer graphiquement la constante de temps τ, on peut aussi déterminer l'abscisse pour laquelle la valeur de uc est égale à 33 % de sa valeur initiale. Ici, la valeur initiale est de 5 V donc on détermine l'abscisse correspondant à . On trouve bien évidemment des valeurs très proches, voire identiques, à celles trouvées avec la première méthode.