▶ 1. Calculer les coordonnées de deux vecteurs de l’espace

$\overrightarrow{\text{AK}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{DC}}$, donc $\overrightarrow{\text{AK}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}$ car $\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{AB}}$.

$\overrightarrow{\text{AK}}$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{1}{2} ; \text{1 }; 0\right)$.

Dans le repère $(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AI}})$, A est l’origine et L a pour coordonnées $\left(\text{0 };\text{ 1 };\frac{3}{2}\right)$ (donné dans l’énoncé).

Donc $\overrightarrow{\text{AL}}$ a pour coordonnées $\left(\text{0 };\text{ 1 };\frac{3}{2}\right)$.

▶ 2. a) Montrer qu’un vecteur de coordonnées données est un vecteur normal à un plan

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (AKL) si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs formant une base de ce plan.

D’après la question précédente, les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AK}}$ et $\overrightarrow{\text{AL}}$ ne sont pas proportionnelles, donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une base du plan (AKL). On calcule le produit scalaire du vecteur $\overrightarrow{n}$ et de chacun de ces deux vecteurs :

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AK}}=6\times \frac{1}{2}-3\times 1=3-3=0$

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AL}}=-3\times 1+2\times \frac{3}{2}=-3+3=0$.

On en déduit que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs d’une base du plan (AKL), donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (AKL).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{6 }; -\text{3 };\text{ 2)}$ est un vecteur normal au plan (AKL), ce plan a une équation cartésienne de la forme 6x - 3y + 2z + d = 0, avec d ∈ ℝ.

Les coordonnées (0 ; 0 ; 0) du point A vérifient cette équation, donc d = 0.

Le plan (AKL) a pour équation cartésienne $\boxed{6x-3y+2z=0}$.

c) Déterminer un système d’équations paramétriques d’une droite

La droite ∆ est perpendiculaire au plan (AKL), donc elle a pour vecteur directeur $\overrightarrow{n}(\text{6 }; -\text{3 };\text{ 2)}$, vecteur normal au plan (AKL).

On sait également que ∆ passe par le point D(0 ; 1 ; 0), donc un système d’équations paramétriques de cette droite est : $\boxed{\left\{\begin{array}{l}x=6t\\ y=1-3t\\ z=2t\end{array}\right.\text{, avec }t\in \text{ℝ}}$.

d) Montrer qu’un point est le projeté orthogonal d’un point donné sur un plan donné

On montre, à l’aide des questions précédentes, que le point $\text{N}\left(\frac{18}{49} ; \frac{40}{49} ; \frac{6}{49}\right)$ appartient à la fois au plan (AKL) et à la droite ∆.

$6\times \frac{18}{49}-3\times \frac{40}{49}+2\times \frac{6}{49}=\frac{6\times 18-3\times 40+2\times 6}{49}=0$, donc N appartient au plan (AKL).

On cherche s’il existe un réel t tel que : $\left\{\begin{array}{l}6t=\frac{18}{49}\\ 1-3t=\frac{40}{49}\\ 2t=\frac{6}{49}\end{array}\right.$.

Les trois équations ont la même solution $t=\frac{3}{49}$, donc N ∈ ∆.

Le point N est le point d’intersection du plan (AKL) et de la droite perpendiculaire à ce plan passant par D, donc N est le projeté orthogonal de D sur le plan (AKL).

▶ 3. a) Calculer le volume d’un tétraèdre

Si on calcule le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base, la hauteur correspondante est DL, car la droite (DL) est perpendiculaire en D au plan (ADK).

On calcule l’aire du triangle ADK. Ce triangle est rectangle en D, DA = 1, DK = $\frac{1}{2}$ ; l’aire du triangle ADK est $\frac{1\times \frac{1}{2}}{2}$, c’est-à-dire $\frac{1}{4}$.

On calcule la distance DL, on a $\text{DL}=\frac{3}{2}\text{AI}=\frac{3}{2}$, car AI = 1.

Le volume 𝒱 du tétraèdre ADKL est donc $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{2}$, soit :

$\boxed{\mathcal{V}=\frac{1}{8}}$

b) Calculer la distance d’un point D à un plan

La distance du point D au plan (AKL) est la distance de D à son projeté orthogonal sur le plan (AKL), c’est-à-dire la distance DN.

D’après la formule donnant la distance de deux points de l’espace dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé :

$\text{DN}=\sqrt[]{{\left(\frac{18}{49}\right)}^2+{\left(\frac{40}{49}-1\right)}^2+{\left(\frac{6}{49}\right)}^2}$

$\text{DN}=\frac{\sqrt[]{441}}{49}$

$\text{DN}=\frac{21}{49}$.

La distance du point D au plan (AKL) est égale à $\boxed{\frac{3}{7}}$.

c) Déterminer l’aire d’un triangle

Si on note $\mathcal{A}$ l’aire du triangle AKL (𝒱 étant toujours le volume du tétraèdre ADKL), on a :

$\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \text{DN}$

c’est-à-dire :

$\mathcal{V}=\frac{\mathcal{A}}{7}$.

Comme on sait que $\mathcal{V}=\frac{1}{8}$, on a $\frac{\mathcal{A}}{7}=\frac{1}{8}$, soit $\mathcal{A}=\frac{7}{8}$.

L’aire du triangle AKL est donc égale à $\boxed{\frac{7}{8}}$.