Intervalles de fluctuation et de confiance
ENS. SPÉCIFIQUE
37
matT_1709_13_01C
Polynésie française • Septembre 2017
Exercice 1 • 6 points • ⏱ 1 h 10
Un tout nouveau grand huit !
Les thèmes clés
Loi normale • Probabilités • Intervalle de fluctuation
Un parc d’attractions propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m et dont l’âge est compris entre 10 et 70 ans.
Des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.
On arrondira, si nécessaire, les probabilités à 10−4.
▶ 1. a) La taille en centimètres d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance 165 et d’écart type 20.
Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit ?
b) L’âge d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance 30 et d’écart type 17.
Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit ?
c) Les études menées permettent d’établir que 89 % des visiteurs ont la taille exigée, 87 % ont l’âge requis mais 8 % n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?
▶ 2. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25 % des personnes ont attendu moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95 % sont satisfaites de l’attraction.
En revanche, 22 % des personnes ayant attendu plus de 30 min ne sont pas satisfaites de l’attraction.
On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
On note A l’événement « le visiteur a attendu plus de 30 min » et S l’événement « le visiteur est satisfait de l’attraction ».
a) Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut 0,8225.
b) Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de 30 min ?
▶ 3. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d’attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge 200 personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, 46 se disent insatisfaites.
Le directeur peut-il être rassuré ?
Les clés du sujet
▶ 1. a) Exprimez la probabilité demandée à l’aide de la variable aléatoire T en utilisant la contrainte évoquée dans l’énoncé sur la taille. Prenez garde aux unités.
b) Exprimez la probabilité demandée à l’aide de la variable aléatoire X en utilisant la contrainte évoquée dans l’énoncé sur l’âge.
c) Présentez les données à l’aide d’un tableau à double entrée. Complétez ce tableau et concluez.
▶ 2. a) Traduisez l’énoncé par un arbre pondéré avant de conclure à l’aide de la formule des probabilités totales.
b) Remarquez que la probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.
▶ 3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence de personnes satisfaites par l’attraction dans un échantillon de taille 200. Commentez l’appartenance de la fréquence observée de personnes satisfaites dans l’échantillon à cet intervalle.
