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Un tout nouveau grand huit

Polynésie française • Septembre 2017

Exercice 1 • 6 points • 1 h 10

Un tout nouveau grand huit !

Les thèmes clés

Loi normale • Probabilités • Intervalle de fluctuation

 

Un parc d'attractions propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n'est autorisé qu'aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m et dont l'âge est compris entre 10 et 70 ans.

Des études statistiques sont menées pour évaluer l'affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

On arrondira, si nécessaire, les probabilités à 10−4.

1. a) La taille en centimètres d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire T qui suit la loi normale d'espérance 165 et d'écart type 20.

Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit ?

b) L'âge d'un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance 30 et d'écart type 17.

Quelle est la probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit ?

c) Les études menées permettent d'établir que 89 % des visiteurs ont la taille exigée, 87 % ont l'âge requis mais 8 % n'ont ni la taille, ni l'âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction ?

2. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que 25 % des personnes ont attendu moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95 % sont satisfaites de l'attraction.

En revanche, 22 % des personnes ayant attendu plus de 30 min ne sont pas satisfaites de l'attraction.

On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.

On note A l'événement « le visiteur a attendu plus de 30 min » et S l'événement « le visiteur est satisfait de l'attraction ».

a) Montrer que la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut 0,8225.

b) Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de 30 min ?

3. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d'attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge 200 personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, 46 se disent insatisfaites.

Le directeur peut-il être rassuré ?

Les clés du sujet

1. a) Exprimez la probabilité demandée à l'aide de la variable aléatoire T en utilisant la contrainte évoquée dans l'énoncé sur la taille. Prenez garde aux unités.

b) Exprimez la probabilité demandée à l'aide de la variable aléatoire X en utilisant la contrainte évoquée dans l'énoncé sur l'âge.

c) Présentez les données à l'aide d'un tableau à double entrée. Complétez ce tableau et concluez.

2. a) Traduisez l'énoncé par un arbre pondéré avant de conclure à l'aide de la formule des probabilités totales.

b) Remarquez que la probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence de personnes satisfaites par l'attraction dans un échantillon de taille 200. Commentez l'appartenance de la fréquence observée de personnes satisfaites dans l'échantillon à cet intervalle.

Corrigé

1. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder au grand huit, à savoir une taille supérieure ou égale à 1,40 m soit 140 cm, s'exprime à l'aide de la variable aléatoire T de la manière suivante : P(T140). D'après le graphique ci-dessous, nous avons :

P(T140)=symétriede ladensitéP(140T165)en orange sur le graphique+0,5en vert sur le graphique

matT_1709_13_01C_01

À l'aide la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

Casio Graph 75

matT_1709_13_01C_06

matT_1709_13_01C_07

La probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est environ 0,8944.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit, à savoir entre 10 et 70 ans, s'exprime à l'aide de la variable aléatoire X de la manière suivante : P(10X70), en violet sur le graphique suivant :

matT_1709_13_01C_02

À l'aide la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

Casio Graph 75

matT_1709_13_01C_03

matT_1709_13_01C_04

La probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit est environ 0,8710.

c) Déterminer une proportion

Nous pouvons présenter les données (en pourcentages) de l'énoncé à l'aide d'un tableau à double entrée :

Taille exigée requise

Taille exigée non requise

Total

Âge exigé requis

87

Âge exigé non requis

8

Total

89

En complétant ce tableau, nous obtenons :

Taille exigée requise

Taille exigée non requise

Total

Âge exigé requis

118=3

87

Âge exigé non requis

138=5

8

10087=13

Total

89

10089=11

100

La dernière donnée manquante peut se calculer de deux manières différentes ce qui nous permet de vérifier la cohérence de nos précédents calculs : soit 895=84 soit 873=84.

La proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction, à savoir âge et taille, est de 84 %.

2. a) Calculer une probabilité  E37 

à noter

L'événement contraire de l'événement A est A¯ : « le visiteur a attendu moins de 30 min ».

L'événement contraire de l'événement S est S¯ : « le visiteur n'est pas satisfait de l'attraction ».

D'après l'énoncé :

La probabilité que le visiteur ait attendu moins de 30 min est 0,25 ce qui se traduit parP(A¯)=0,25.

Par conséquent, on a P(A)=1P(A¯)=0,75.

Parmi les visiteurs qui ont attendu moins de 30 min, 95 % sont satisfaits ce qui se traduit par PA¯(S)=0,95. Par conséquent, on a : PA¯(S¯)=1PA¯(S)=10,95=0,05.

Par contre, parmi les visiteurs qui ont attendu plus de 30 min, 22 % ne sont pas satisfaits de l'attraction ce qui se traduit par PA(S¯)=0,22. Par conséquent, on a : PA(S)=1PA(S¯)=10,22=0,78.

Nous pouvons résumer tout ceci avec l'arbre pondéré suivant :

matT_1709_13_01C_05

La probabilité demandée est la probabilité qu'un visiteur choisi au hasard soit satisfait de l'attraction soit P(S). D'après la formule des probabilités totales :

P(S)=P(AS)+P(A¯S)        =P(A)×PA(S)+P(A¯)×PA¯(S)        =0,75×0,78+0,25×0,95        =0,8225.

La probabilité que le visiteur soit satisfait de l'attraction vaut donc 0,8225.

b) Calculer une probabilité conditionnelle  E35 • E37 

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité que le visiteur ait attendu moins de 30 min sachant que ce visiteur n'est pas satisfait.

Cette probabilité se note PS¯(A¯) et elle est donnée par :

PS¯(A¯)=P(A¯S¯)P(S¯)=0,25×0,0510,82250,0704.

La probabilité que ce visiteur insatisfait rencontré par le directeur ait attendu moins de 30 min est environ 0,0704.

3. Prendre une décision  E43 

Le caractère étudié est la « satisfaction du visiteur ».

D'après la question 2. a), la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut : p=0,8225.

On a interrogé 200 personnes au hasard à la sortie du grand huit : la taille de l'échantillon considéré est ainsi n=200.

Comme n=20030n×p=200×0,8225=164,55 et n×(1p)=200×(10,8225)=35,55, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence de personnes satisfaites à la sortie du grand huit dans un échantillon de taille 200 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)n  p+1,96p×(1p)n]=[0,82251,960,8225×0,1775200   0,8225+1,960,8225×0,1775200][0,7695   0,8755].

Sur les 200 personnes interrogées, 46 se disent insatisfaites et par suite, 20046=154 personnes sont satisfaites à la sortie du grand huit. La fréquence observée f de personnes satisfaites dans l'échantillon est alors égale à 154200=0,77.

Comme f appartient à l'intervalle I (0,76950,77=f0,8755), le directeur peut être rassuré.

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