Un tout nouveau grand huit

Corrigé

▶ 1. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder au grand huit, à savoir une taille supérieure ou égale à 1,40 m soit 140 cm, s'exprime à l'aide de la variable aléatoire T de la manière suivante : P(T≥140). D'après le graphique ci-dessous, nous avons :

P(T≥140)=symétriede ladensitéP(140≤T≤165)en orange sur le graphique+0,5en vert sur le graphique

À l'aide la calculatrice, nous obtenons :

La probabilité qu'un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est environ 0,8944.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit, à savoir entre 10 et 70 ans, s'exprime à l'aide de la variable aléatoire X de la manière suivante : P(10≤X≤70), en violet sur le graphique suivant :

À l'aide la calculatrice, nous obtenons :

La probabilité qu'un visiteur ait l'âge requis pour accéder à ce grand huit est environ 0,8710.

c) Déterminer une proportion

Nous pouvons présenter les données (en pourcentages) de l'énoncé à l'aide d'un tableau à double entrée :

En complétant ce tableau, nous obtenons :

La dernière donnée manquante peut se calculer de deux manières différentes ce qui nous permet de vérifier la cohérence de nos précédents calculs : soit 89−5=84 soit 87−3=84.

La proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction, à savoir âge et taille, est de 84 %.

▶ 2. a) Calculer une probabilité  E37 

D'après l'énoncé :

La probabilité que le visiteur ait attendu moins de 30 min est 0,25 ce qui se traduit parP(A¯)=0,25.

Par conséquent, on a P(A)=1−P(A¯)=0,75.

Parmi les visiteurs qui ont attendu moins de 30 min, 95 % sont satisfaits ce qui se traduit par PA¯(S)=0,95. Par conséquent, on a : PA¯(S¯)=1−PA¯(S)=1−0,95=0,05.

Par contre, parmi les visiteurs qui ont attendu plus de 30 min, 22 % ne sont pas satisfaits de l'attraction ce qui se traduit par PA(S¯)=0,22. Par conséquent, on a : PA(S)=1−PA(S¯)=1−0,22=0,78.

Nous pouvons résumer tout ceci avec l'arbre pondéré suivant :

La probabilité demandée est la probabilité qu'un visiteur choisi au hasard soit satisfait de l'attraction soit P(S). D'après la formule des probabilités totales :

P(S)=P(A∩S)+P(A¯∩S)=P(A)×PA(S)+P(A¯)×PA¯(S)=0,75×0,78+0,25×0,95=0,8225.

La probabilité que le visiteur soit satisfait de l'attraction vaut donc 0,8225.

b) Calculer une probabilité conditionnelle  E35 • E37 

La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle : probabilité que le visiteur ait attendu moins de 30 min sachant que ce visiteur n'est pas satisfait.

Cette probabilité se note PS¯(A¯) et elle est donnée par :

PS¯(A¯)=P(A¯∩S¯)P(S¯)=0,25×0,051−0,8225≈0,0704.

La probabilité que ce visiteur insatisfait rencontré par le directeur ait attendu moins de 30 min est environ 0,0704.

▶ 3. Prendre une décision  E43 

Le caractère étudié est la « satisfaction du visiteur ».

D'après la question 2. a), la probabilité qu'un visiteur soit satisfait de l'attraction vaut : p=0,8225.

On a interrogé 200 personnes au hasard à la sortie du grand huit : la taille de l'échantillon considéré est ainsi n=200.

Comme n=200≥30, n×p=200×0,8225=164,5≥5 et n×(1−p)=200×(1−0,8225)=35,5≥5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la fréquence de personnes satisfaites à la sortie du grand huit dans un échantillon de taille 200 est ainsi défini et donné par :

I=[p−1,96p×(1−p)np+1,96p×(1−p)n]=[0,8225−1,960,8225×0,17752000,8225+1,960,8225×0,1775200]≈[0,7695 0,8755].

Sur les 200 personnes interrogées, 46 se disent insatisfaites et par suite, 200−46=154 personnes sont satisfaites à la sortie du grand huit. La fréquence observée f de personnes satisfaites dans l'échantillon est alors égale à 154200=0,77.

Comme f appartient à l'intervalle I , le directeur peut être rassuré.