Terminale générale Physique-chimie Description d'un mouvement

Actions appliquées à un système et mouvement

S'ENTRAÎNER

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Le mouvement • Sujet zéro 2020

Un vol inaugural un peu particulier

1 h 50

11 points

Intérêt du sujet • Envoyer un objet dans l'espace est un défi scientifique et technologique. Comment la physique peut-elle venir en aide aux ingénieurs pour récupérer les propulseurs, pour étudier l'orbite de Mars et pour optimiser le volume de carburant ?

pchT_2000_14_00C_01 Ph © Photo by SpaceX Flickr / Sputnik via AFP

Le 6 février 2018, la compagnie SpaceX a procédé au premier vol d'essai de son lanceur spatial lourd Falcon Heavy. Ce vol inaugural a mis en orbite autour du Soleil la réplique d'une voiture électrique. Cette orbite est elliptique et elle croise l'orbite de la planète Mars.

Dans cet exercice, on s'intéresse d'abord à une des innovations majeures de ce vol : le retour des propulseurs sur Terre pour une réutilisation ultérieure. On étudie ensuite l'orbite de Mars. Enfin, quelques propriétés thermiques en lien avec les carburants utilisés sont abordées. Les trois parties sont indépendantes.

partie 1. le retour des propulseurs latéraux sur terre ⏱ 40 min

Lors du vol d'essai du Falcon Heavy, la compagnie SpaceX a réussi à récupérer intacts les deux propulseurs latéraux à proximité de la zone de décollage, grâce à une manœuvre spécifique.

Données

Schéma descriptif du lanceur spatial Falcon Heavy

Le lanceur spatial possède 27 moteurs de type Merlin, 9 moteurs sur chacun des 3 propulseurs allumés au décollage : le propulseur principal et les deux propulseurs latéraux.

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Caractéristiques d'un propulseur latéral

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : Dimension (longueur × diamètre); 44,6 m × 3,66 m; Ligne 2 : Masse à vide; 22,5 tonnes; Ligne 3 : Masse au décollage (avec ergols); 433,5 tonnes; Ligne 4 : Masse à l'atterrissage; 25,3 tonnes;

Poussée maximale d'un moteur Merlin au niveau du sol : 845 kN

La poussée de chaque moteur Merlin est modulable entre 50 % et 100 % de la poussée maximale. Elle représente la force subie par la fusée du fait de l'éjection des gaz.

Valeur du champ de pesanteur au niveau du site d'atterrissage : g = 9,81 m ∙ s^–2.

La figure 1 ci-après reproduit de façon simplifiée le déroulement de la phase de lancement. Après séparation du propulseur principal, les propulseurs latéraux effectuent une manœuvre de retournement qui leur permet de se mettre dans le même sens qu'au décollage. La descente alterne des phases où des réacteurs sont allumés et des phases où ils sont tous éteints.

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Figure 1

On s'intéresse à la phase finale de descente d'un des deux propulseurs, dont on note G_P le centre de masse. Au cours de cette phase, on considère que le mouvement est vertical. L'origine des temps est prise au décollage. Les évolutions temporelles de la norme de la vitesse (notée v) et de l'altitude du point G_P repérée à l'aide d'un axe (Oz) vertical orienté vers le haut et dont l'origine est choisie au sol, sont représentées figure 2 toutes les secondes, à partir de la date t = 420 s jusqu'à l'atterrissage.

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Figure 2

▶ 1. En utilisant le principe d'inertie, interpréter le fait que la vitesse puisse être approximativement constante pendant une certaine durée au cours de la descente alors que les moteurs sont éteints (approximativement entre 420 s et 430 s). (0,5 point)

▶ 2. Lien entre vitesse et altitude

a) Faire un schéma (sans souci d'échelle) de la situation lors de la descente sur lequel figurent l'axe (Oz), un vecteur unitaire $\vec{k}$ , le point G_P et le vecteur vitesse du centre de masse. (0,5 point)

b) Rappeler la définition du vecteur vitesse du centre de masse G_P. (0,25 point)

c) Établir la relation entre la norme de la vitesse v et la dérivée de l'altitude z par rapport au temps, et indiquer qualitativement pourquoi cette relation est en accord avec les courbes de la figure 2. (0,75 point)

▶ 3. Déterminer graphiquement, en explicitant la démarche, la valeur de la norme du vecteur accélération du centre de masse du propulseur dans la dernière phase de l'atterrissage (t > 467 s). (0,5 point)

▶ 4. Pour modéliser l'atterrissage dans les quatre dernières secondes, on choisit de considérer que l'action de l'air est négligeable (la vitesse étant alors suffisamment faible) et que la masse du propulseur est constante (masse à l'atterrissage notée M). On note $\vec{F}$ la force, dite de poussée, exercée sur le propulseur grâce à un unique moteur Merlin en marche.

a) Représenter sur un schéma, sans souci d'échelle, les forces exercées sur le propulseur. Le schéma doit être en accord avec les réponses aux questions précédentes. (0,5 point)

b) Exprimer puis évaluer la valeur de la norme de la force de poussée. Commenter le résultat obtenu. (1 point)

Pour les questions 4. a) et 4. b), le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

partie 2. le mouvement
de la planète mars ⏱ 30 min

Le projet prévoyait de mettre la réplique de la voiture électrique en orbite autour de Mars. Elle a finalement été mise en orbite elliptique autour du Soleil, sur une orbite qui croise celle de la planète Mars.

On s'intéresse dans cette partie au mouvement de la planète Mars. On considère que la planète Mars a une orbite circulaire autour du Soleil.

Données

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Constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10^–11 m³ ∙ kg^–1 ∙ s^–2.

Masse du Soleil : M_S = 1,99 × 10³⁰ kg.

Masse de la planète Mars : M_M = 6,42 × 10²³ kg.

Rayon de l'orbite de Mars, considérée circulaire : d_MS = 2,28 × 10⁸ km.

Trajectoire circulaire du centre de Mars (M) autour du Soleil (centre noté S). $\vec{u}$ est le vecteur unitaire orienté de S vers M.

L'étude est conduite dans le référentiel héliocentrique, c'est-à-dire centré sur le Soleil et dont les axes pointent vers des étoiles fixes, considéré comme galiléen.

▶ 1. Reproduire le schéma représentant la trajectoire circulaire du centre de masse de Mars autour du Soleil et représenter la force exercée par le Soleil sur Mars. (0,25 point)

▶ 2. Établir l'expression du vecteur accélération du centre de Mars en fonction de G, M_S, d_MS et $\vec{u}$ . (0,75 point)

▶ 3. Vitesse de Mars sur son orbite

a) À l'aide de l'expression du vecteur accélération dans le repère de Frenet, montrer que le mouvement de Mars, considéré circulaire, est également uniforme dans le référentiel héliocentrique. (0,5 point)

b) En déduire l'expression puis la valeur de la vitesse de Mars dans ce référentiel. (0,75 point)

▶ 4. Exprimer la période, notée T_M, de révolution de Mars autour du Soleil. Vérifier par un calcul qu'elle est voisine de 690 jours. (0,75 point)

partie 3. davantage de carburant dans un même volume ⏱ 40 min

La course aux lanceurs spatiaux impose de trouver un compromis entre masse du lanceur, carburant embarqué, rigidité, sécurité… Augmenter les quantités de carburant et de combustible dans des volumes inchangés, sans augmenter les risques, constitue ainsi un réel enjeu.

Tous les moteurs du Falcon Heavy brûlent un mélange de dioxygène liquide (appelé LOX pour Liquid Oxygen) et de Rocket Propellant (RP-1), une forme de kérozène spécialement raffiné pour être stocké dans les lanceurs spatiaux. Une technique déjà ancienne consiste à baisser la température des carburants et des combustibles en les faisant circuler dans un bain de diazote liquide, afin d'en stocker davantage dans un même volume, pour une pression donnée (de l'ordre de 5 bar). SpaceX a exploité cette technique en refroidissant le LOX d'environ 10 °C par rapport à la fusée précédente Falcon 9 en amenant sa température à 66 K (− 207 °C). Du fait des gains de densité différents selon l'espèce chimique, il a fallu revoir la taille respective des réservoirs de dioxygène et de kérosène dans la version des Falcon 9 : le réservoir de dioxygène a été raccourci et celui de kérosène allongé.

Données

Température d'ébullition du LOX : − 183 °C = 90 K.

Température d'ébullition du diazote : − 196 °C = 77 K.

Densité du LOX stocké : d_LOX = 1,23.

Capacité thermique massique du LOX à 66 K : c = 1 659 J ∙ kg^-¹ ∙ K^-¹.

Masse volumique du LOX variant de 4,9 kg ∙ m^-³ par kelvin, à pression constante.

Masse de LOX stocké dans le réservoir d'un propulseur latéral au moment du décollage : M = 287,4 t.

Pour que l'augmentation de température du LOX dans le réservoir ne soit pas trop importante, le remplissage se fait pendant les 45 minutes précédant le décollage.

▶ 1. Le refroidissement du LOX

a) Indiquer le sens du transfert d'énergie qui s'effectue entre le LOX et le diazote liquide, ainsi que la conséquence éventuellement observable pour le diazote. (0,5 point)

b) Exprimer, puis calculer, l'énergie échangée entre le LOX et le diazote lors du refroidissement de 10 °C du LOX (par rapport à d'autres vols classiques). (0,5 point)

Lorsque le réservoir de LOX est rempli, il est au contact de la paroi du réservoir, elle-même en contact avec l'air ambiant. Le réservoir est de type « monocoque », en alliage d'aluminium et de lithium.

On s'intéresse ici à la durée approximative à l'issue de laquelle la température du LOX risque de ré-augmenter de 10 °C, ce qui ferait perdre tout le bénéfice du refroidissement.

Pour ceci, on adopte les choix de modélisation suivants :

La convection étant très importante dans l'air extérieur, on modélise l'air extérieur comme un système à température constante T_air ;

On considère que le flux thermique de l'air vers le LOX à température T peut s'exprimer par la relation P = h × S(T_air − T ), où S est la surface de contact entre l'air et le réservoir, et h est une constante caractéristique de l'échange thermique ;

On considère qu'à l'instant initial (considéré comme l'instant où le réservoir est rempli), T(t = 0) = T_i = 66 K.

▶ 2. À l'aide d'un bilan d'énergie, établir que l'équation différentielle vérifiée par la température du LOX s'écrit M_c × $\frac{d T}{d t}$ = h × S(T_air − T). (1 point)

▶ 3. En déduire que l'expression de la température du LOX au cours du temps s'écrit T(t) = T_air + A $\exp (- \frac{t}{τ})$ .

Exprimer A et τ en fonction de M, c, h, S, T_air et T_i et préciser la signification physique de la constante τ. (0,75 point)

▶ 4. Les deux courbes ci-dessous sont obtenues par simulation en utilisant l'expression de T en fonction du temps obtenue à la question précédente et en choisissant deux valeurs particulières de la constante d'échange h : h₁ = 1,0 W ∙ K^-¹ ∙ m^-² et h₂ = 60 W ∙ K^-¹ ∙ m^-².

La température est indiquée en kelvin, le temps en heure.

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a) En justifiant la réponse, attribuer une valeur de h à chacune de ces courbes. (0,25 point)

b) Indiquer la courbe simulée qui semble la mieux rendre compte de la situation réelle étudiée et estimer, dans ce cas, la durée approximative nécessaire pour une augmentation de 10 K de la température du LOX. (0,5 point)

▶ 5. À l'aide de l'équation différentielle établie à la question 2, justifier que quelle que soit la valeur de la constante d'échange h, la dérivée de la température par rapport au temps $\frac{d T}{d t}$ peut être considérée constante au début du réchauffement (par exemple pour les dix premiers degrés). (0,25 point)

▶ 6. Discuter le résultat obtenu à la question 4. b) en menant une analyse des choix de modélisation réalisés. (0,25 point)

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

partie 1. le retour des propulseurs latéraux sur terre

▶ 1. Justifier le mouvement d'un propulseur à l'aide du principe d'inertie

Dans cette partie, le système étudié est {un propulseur} et le référentiel d'étude est le référentiel terrestre considéré galiléen.

Au cours de la phase finale de descente, le mouvement est vertical donc la trajectoire est une droite : le mouvement est rectiligne.

De plus, d'après le graphique, entre 420 s et 430 s, on constate que la vitesse est constante. Donc le mouvement est uniforme.

Ainsi, le mouvement du propulseur est rectiligne uniforme. D'après le principe d'inertie, on en déduit que le propulseur est soumis à un ensemble de forces qui se compensent, ce que l'on peut écrire : $\sum \vec{F_{ext}} = \vec{0}$ .

▶ 2. a) Schématiser une situation décrite

Lors de sa descente, le propulseur a un mouvement vertical vers le bas, donc le vecteur vitesse est lui aussi vertical et vers le bas.

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b) Donner la définition du vecteur vitesse

Par définition, le vecteur vitesse $\vec{V}$ est la dérivée, par rapport au temps, du vecteur position $\vec{{OG}_{P}}$ ce qui s'écrit : $\vec{V} = \frac{d \vec{{OG}_{P}}}{d t}$ .

c) Établir une expression littérale pour justifier l'évolution des grandeurs V et z

En utilisant le schéma ci-dessus, on a : $\vec{{OG}_{P}} = z \times \vec{k}$ .

Ainsi, le vecteur vitesse s'écrit : $\vec{V} = \frac{d \vec{{OG}_{P}}}{d t} = \frac{d (z \times \vec{k})}{d t} = \frac{d z}{d t} \times \vec{k}$ .

De plus, on a : $\vec{V} = - V \times \vec{k}$ .

à noter

Même si V = $- \frac{d z}{d t}$ dans notre situation, la norme de la vitesse reste toujours positive.

Ainsi, par identification, on a : – V = $\frac{d z}{dt}$ . Donc : $V = - \frac{d z}{d t}$ .

D'après la figure 2, on constate que l'altitude z diminue au cours du temps :

z diminue ⇔ $\frac{d z}{d t}$ 0 ⇔ $- \frac{d z}{d t}$ > 0 ⇔ V > 0

ce qui est bien en accord avec la courbe de la figure 2.

▶ 3. Déterminer la norme du vecteur accélération

Par définition, on a : $a_{G} = ‖\vec{a_{G}}‖ = ‖\frac{Δ \vec{V}}{Δ t}‖$ . Ainsi, calculer la norme du vecteur accélération revient à calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe (courbe assimilable à la droite verte ci-dessous).

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Prenons deux points A et B de cette droite de coordonnées, par exemple : A(454 ; 400) et B(503 ; 0).

Ainsi, on a : $a_{G} = ‖\frac{V_{B} - V_{A}}{t_{B} - t_{A}}‖ = ‖\frac{0 - 400}{503 - 454}‖$ = 8,16 m · s^-².

▶ 4. a) Schématiser les forces exercées sur le système

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Les forces qui s'exercent sur le propulseur sont :

son poids $\vec{P}$

la force de poussée exercée par un moteur Merlin $\vec{F}$ .

Les actions de l'air sont négligées.

Le propulseur ayant un mouvement rectiligne ralenti, on en déduit que F > P : les vecteurs force sont tracés en conséquent.

b) Calculer la valeur d'une force

D'après la deuxième loi de Newton appliquée au système, on a :

$\sum \vec{F_{ext}} = M \times \vec{a_{G}}$ d'où $\vec{P} + \vec{F} = M \times \vec{a_{G}}$ .

Par projection sur l'axe (Oz), on a : P_z + F_z = M × a_Gz.

Comme le mouvement du propulseur est vertical ralenti, le vecteur accélération est vertical et dirigé vers le haut. Ainsi, on a : a_Gz = a_G.

La relation devient : – P + F = M × a_G d'où F = M × a_G + P.

Or P = M × g donc on a : F = M × a_G + M × g = M × (a_G + g).

Ainsi, on a : F = 25,3 × 10³ × (8,16 + 9,81) = 4,55 × 10⁵ N.

Comparons cette valeur aux données de l'énoncé de la partie 1 : la poussée maximale d'un moteur Merlin au niveau du sol est F_max = 845 kN. Il est précisé que la poussée d'un moteur est modulable entre 50 % et 100 % de la poussée maximale.

Ici, F = 4,55 × 10⁵ N = 455 kN et (50 % × F_max) = 0,50 × 845 = 423 kN.

On a donc bien (50 % × F_max) F (100 % × F_max) : la modélisation proposée est correcte.

partie 2. le mouvement de la planète mars

▶ 1. Représenter la force exercée par le Soleil sur Mars

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(M, $\vec{t}$ , $\vec{n}$ ) : base de Frenet.

$\vec{F_{S / M}}$ : force exercée par le Soleil sur Mars.

$\vec{u}$ : vecteur unitaire dirigé de S vers M.

▶ 2. Établir l'expression du vecteur accélération

On étudie le mouvement de Mars dans le référentiel héliocentrique. D'après la deuxième loi de Newton appliquée à Mars, de masse constante M_M, on a : $\sum \vec{F_{ext}} = M_{M} \times \vec{a}$ d'où $\vec{F_{S/M}} = M_{M} \times \vec{a}$ car Mars n'est soumise qu'à la seule force $\vec{F_{S/M}}$ . D'après la loi de gravitation universelle, on a : $\vec{F_{S/M}} = G \times \frac{M_{S} \times M_{M}}{d_{MS}^{2}} \times \vec{n}$ .

Ainsi, par identification, on obtient : $M_{M} \times \vec{a} = G \times \frac{M_{S} \times M_{M}}{d_{MS}^{2}} \times \vec{n}$ . D'où : $\vec{a} = G \times \frac{M_{S}}{d_{MS}^{2}} \times \vec{n}$ (1)

Or, d'après le schéma, on a $\vec{n} = - \vec{u}$ . Donc $\vec{a} = – G \times \frac{M_{S}}{d_{MS}^{2}} \times \vec{u}$ .

▶ 3. a) Montrer que le mouvement de Mars est circulaire uniforme

Comme Mars décrit une orbite circulaire, l'expression du vecteur accélération est : $\vec{a} = \frac{d V}{d t} \times \vec{t} + \frac{V^{2}}{d_{MS}} \times \vec{n}$ (2)

Par identification des relations (1) et (2), on obtient : $\frac{d V}{d t}$ = 0 donc

V = constante : le mouvement de Mars est bien circulaire et uniforme puisque sa vitesse reste constante.

b) Exprimer et calculer la vitesse de Mars

Par identification des relations (1) et (2), on obtient : $G \times \frac{M_{S}}{d_{MS}^{2}} = \frac{V^{2}}{d_{MS}}$

d'où : $V^{2} = G \times \frac{M_{S}}{d_{MS}^{2}} \times d_{MS}$ et $V = \sqrt[]{G \times \frac{M_{S}}{d_{MS}}}$ .

attention

Il faut convertir les distances en mètres.

Ainsi, on calcule : $\begin{matrix} V = \sqrt[]{6,67 \times 10^{- 11} \times \frac{1,99 \times 10^{30}}{2,28 \times 10^{11}}} \\ = 2,41 \times 10^{4} m \cdot s^{- 1} \end{matrix}$

▶ 4. Exprimer et calculer la période de révolution de Mars autour du Soleil

La période de révolution de Mars, T_M, est la durée que met Mars pour faire un tour complet autour du Soleil sur son orbite, c'est-à-dire pour parcourir la distance d = 2π × d_MS à la vitesse V. Ainsi, $T_{M} = \frac{2 π \times d_{MS}}{V}$ .

En remplaçant V par l'expression obtenue précédemment, on a :

$T_{M} = \frac{2 π \times d_{MS}}{\sqrt[]{G \times \frac{M_{S}}{d_{MS}}}} = 2 π \times d_{MS} \times \sqrt[]{\frac{d_{MS}}{G \times M_{S}}}$ = $2 π \sqrt[]{\frac{d_{MS}^{3}}{G \times M_{S}}}$

Ainsi, on calcule : T_M = $2 π \sqrt[]{\frac{{(2,28 \times 10^{11})}^{3}}{6,67 \times 10^{- 11} \times 1,99 \times 10^{30}}}$ = 5,94 × 10⁷ s.

Sachant que 1 jour = 24 h = 24 × 3 600 s, $T_{M} = \frac{5,94 \times 10^{7}}{24 \times 3 600}$ = 688 jours.

La valeur obtenue est bien cohérente avec celle donnée dans l'énoncé.

partie 3. davantage de carburant dans un même volume

▶ 1. a) Indiquer le sens d'un transfert thermique

D'après l'énoncé, cette technique consiste à refroidir le LOX de 10 °C, passant ainsi de – 197 °C à – 207 °C. À cette température, le LOX est à l'état liquide.

Pour le refroidir, on utilise un bain de diazote liquide. Ainsi, lors du refroidissement, le corps le plus chaud est le LOX et le corps le plus froid est le diazote liquide : le transfert thermique s'effectue du LOX vers le diazote liquide.

Le diazote liquide gagne donc de l'énergie thermique, ce qui peut le faire changer d'état si sa température dépasse – 196 °C : il passerait alors de l'état liquide à l'état gazeux.

b) Exprimer puis calculer l'énergie échangée

L'énergie thermique échangée entre le LOX et le diazote lors du refroidissement de 10 °C est donnée par : |ΔU|=|Q| = M × c × |Δθ|.

Ainsi, on a : |Q| = 287,4 × 10³ × 1659 × 10 = 4,8×10⁹ J.

▶ 2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température du LOX

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système LOX en l'absence d'énergie échangée par travail, on a : ΔU = Q.

Or, pour une durée Δt courte, on a : Q = P × Δt.

D'autre part, d'après l'énoncé, on a : P = h × S × (T_air – T)

Ainsi, en combinant les expressions précédentes, on a :

ΔU = h × S × (T_air – T) × Δt

Or la variation d'énergie interne d'un système incompressible est donnée par : ΔU = M × c × ΔT donc M × c × ΔT = h × S × (T_air – T) × Δt,

d'où M × c × $\frac{Δ T}{Δ t}$ = h × S × (T_air – T).

Lorsque Δt tend vers 0, la limite de $\frac{Δ T}{Δ t}$ correspond à la dérivée de T par rapport au temps t, notée $\frac{d T}{d t}$ .

Ainsi, l'équation différentielle vérifiée par la température du LOX est :

M × c × $\frac{d T}{d t}$ = h × S × (T_air – T)

▶ 3. Résoudre l'équation différentielle

L'équation différentielle établie à la question précédente s'écrit aussi :

$\frac{d T}{d t}$ = $\frac{h \times S}{M \times c}$ × (T_air – T)

soit $\frac{dT}{dt}$ = – $\frac{h \times S}{M \times c}$ ×T + $\frac{h \times S}{M \times c}$ × T_air de forme générale mathématique y′ = ay + b. Or, les solutions d'une telle équation différentielle sont de la forme : y(t) = K × $e^{a t}$ – $\frac{b}{a}$ .

Ainsi, on peut écrire : T(t) = K × $e^{- \frac{h \times S}{M \times c} t}$ – $\frac{\frac{h \times S}{M \times c} \times T air}{- \frac{h \times S}{M \times c}}$

d'où T(t) = K × $e^{- \frac{h \times S}{M \times c} t}$ + T_air et T(t) = T_air + K × $e^{- \frac{h \times S}{M \times c} t}$ .

Détermination de la constante K.

À t = 0 s, l'expression précédente donne : T(t = 0) = T_air + K.

Or on sait que T(t = 0) = T_i donc T_i = T_air + K et K = T_i – T_air.

Donc T(t) = T_air + (T_i – T_air) × $e^{- \frac{h \times S}{M \times c} t}$ (3)

L'expression proposée est : T(t) = T_air + A × $e^{- \frac{t}{τ}}$ (4)

Par identification entre (3) et (4), on a : A = T_i – T_air et τ = $\frac{M \times c}{h \times S}$ .

La constante τ est la constante de temps caractéristique de l'évolution de la température du système, exprimée en seconde.

▶ 4. a) Comprendre l'influence d'une grandeur sur l'évolution de la température

Comme τ est une constante de temps caractéristique, elle traduit la rapidité d'évolution de la température du système. Plus τ est grand, plus l'évolution est lente. D'autre part, comme τ = $\frac{M \times c}{h \times S}$ , τ est inversement proportionnel à la constante d'échange h. Ainsi, plus h est petit, plus l'évolution est lente.

Ici, on constate que l'évolution de la température pour la courbe B est beaucoup plus lente que pour la courbe A.

Comme h₁ h₂, on conclut que la valeur de h₁ correspond à la courbe B et celle de h₂ à la courbe A.

b) Estimer graphiquement une durée

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L'évolution de la température du LOX étant rapide dans la situation étudiée, c'est la courbe A qui modélise le mieux la situation réelle.

Dans ce cas, on estime graphiquement qu'une élévation de température de 10 K s'effectue en Δt = 30 minutes environ.

▶ 5. Justifier une affirmation

On rappelle l'équation différentielle de la question 2 :

M × c × $\frac{d T}{d t}$ = h × S × (T_air – T) d'où $\frac{d T}{d t}$ = $\frac{h \times S}{M \times c}$ × (T_air – T).

Or $\frac{d T}{d t}$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant T en fonction de t. Sur le graphique, on constate que, pour les 4 premières heures, le coefficient directeur des tangentes à la courbe à chaque instant t est à peu près constant. On en déduit que $\frac{d T}{d t}$ peut être considérée comme constante au début du réchauffement du LOX.

▶ 6. Analyser des choix de modélisation

À la question 4. b), nous avons déterminé qu'au bout de 30 minutes, la température du LOX a augmenté de 10 K. Cela confirme l'information de l'énoncé selon laquelle « le remplissage se fait pendant les 45 minutes précédant le décollage, pour que l'augmentation de température du LOX dans le réservoir ne soit pas trop importante ».

Dans la modélisation, l'air extérieur impose l'augmentation rapide de la température du LOX. Il joue le rôle de thermostat, ce qui confirme le choix de l'énoncé selon lequel l'air extérieur est modélisé comme un système à température constante.

D'autre part, le flux thermique P = h × S(T_air − T) est proportionnel à la constante d'échange thermique h. Ainsi, plus cette constante h est grande, plus le flux thermique P est grand. Cela est en accord avec le fait que la température du LOX atteint rapidement la température de l'air et confirme que l'air a une constante d'échange thermique grande.

Enfin, l'instant initial est considéré comme l'instant où le réservoir est rempli, or on peut penser qu'il y a déjà des échanges thermiques entre l'air et le LOX avant que le réservoir ne soit entièrement rempli. L'augmentation de température du LOX a donc commencé avant t = 0 s et on a T_i > 66 K. Ce choix de modélisation pose donc problème.

Un vol inaugural un peu particulier

partie 1. le retour des propulseurs latéraux sur terre ⏱ 40 min

Figure 1

Figure 2

partie 2. le mouvement de la planète mars ⏱ 30 min

partie 3. davantage de carburant dans un même volume ⏱ 40 min

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

Les conseils du correcteur

partie 1. le retour des propulseurs latéraux sur terre

▶ 1. Justifier le mouvement d'un propulseur à l'aide du principe d'inertie

▶ 2. a) Schématiser une situation décrite

b) Donner la définition du vecteur vitesse

c) Établir une expression littérale pour justifier l'évolution des grandeurs V et z

à noter

▶ 3. Déterminer la norme du vecteur accélération

▶ 4. a) Schématiser les forces exercées sur le système

b) Calculer la valeur d'une force

partie 2. le mouvement de la planète mars

▶ 1. Représenter la force exercée par le Soleil sur Mars

▶ 2. Établir l'expression du vecteur accélération

▶ 3. a) Montrer que le mouvement de Mars est circulaire uniforme

b) Exprimer et calculer la vitesse de Mars

attention

▶ 4. Exprimer et calculer la période de révolution de Mars autour du Soleil

partie 3. davantage de carburant dans un même volume

▶ 1. a) Indiquer le sens d'un transfert thermique

b) Exprimer puis calculer l'énergie échangée

▶ 2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la température du LOX

▶ 3. Résoudre l'équation différentielle

▶ 4. a) Comprendre l'influence d'une grandeur sur l'évolution de la température

b) Estimer graphiquement une durée

▶ 5. Justifier une affirmation

▶ 6. Analyser des choix de modélisation

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partie 2. le mouvement
de la planète mars ⏱ 30 min