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Une boîte et des jetons de trois couleurs

Sommes de variables aléatoires

Une boîte et des jetons de trois couleurs

50 min

5 points

Intérêt du sujet  On étudie la somme de deux variables aléatoires dans le cadre d'un tirage de jetons avec remise. On cherche ensuite à maximiser un gain par l'étude d'une fonction polynôme.

 

Une boîte contient des jetons indiscernables au toucher. Chacun de ces jetons est d'une seule couleur, soit rouge, soit bleu, soit noir.

On note x le nombre de jetons rouges, y le nombre de jetons bleus, z le nombre de jetons noirs contenus dans la boîte.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On tire successivement avec remise n jetons au hasard dans cette boîte.

On note R et B les variables aléatoires donnant respectivement le nombre de jetons rouges et le nombre de jetons bleus parmi les n tirés.

1. Dans cette question, on suppose x = 1, y = 2 et z = 3.

a) Déterminer la loi de probabilité de R et de B. Calculer leur espérance E(R) et E(B), et leur variance V(R) et V(B).

b) On note S la variable aléatoire donnant le nombre de jetons, parmi les n tirés, qui ne sont pas de couleur noire. Montrer que S suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres, calculer son espérance E(S) et sa variance V(S).

c) A-t-on E(S) = E(R) + E(B) ? V(S) = V(R) + V(B) ?

Justifier les réponses.

2. Dans cette question, x, y et z sont des entiers naturels quelconques.

a) Déterminer en fonction de x, y et z les variances V(R), V(B) et V(S).

b) À quelle condition sur x, y et z a-t-on V(S) = V(R) + V(B) ?

Partie B

On suppose maintenant que la boîte contient 40 jetons au total.

10 % de ces jetons sont rouges, 30 % sont bleus, les autres sont noirs.

Un joueur tire un jeton au hasard. Si ce jeton est noir, le joueur gagne le gain de base ; si le jeton est bleu, le joueur gagne le carré du gain de base ; si le jeton est rouge, le joueur perd le cube du gain de base.

1. On suppose que le gain de base est 2 euros.

Calculer le gain moyen que le joueur peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

2. On cherche à déterminer la valeur du gain de base telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.

a) On note x le gain de base. Montrer que le problème posé revient à étudier les extremums de la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x)=x3+3x2+6x.

b) Étudier les variations de f sur [0 ; + [ et conclure.

 

Les clés du sujet

Partie A

1. a) Les jetons sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité et les tirages successifs sont indépendants. Les variables aléatoires R et B suivent une loi binomiale.

b) On a à nouveau une loi binomiale.

c) On doit examiner, entre autres, la relation entre les variables aléatoires R, B et S, et l'indépendance des variables aléatoires R et B.

2. b) Utilisez la propriété n ≠ 0 pour simplifier la relation obtenue.

Partie B

1. Commencez par déterminer le nombre de jetons de chaque couleur.

2. b) Calculez la dérivée de f et étudiez son signe.

Partie A

> 1. a) Déterminer la loi de deux variables aléatoires

La boîte contient 6 jetons : 1 rouge, 2 bleus, 3 noirs.

Puisqu'il y a remise entre les tirages, l'expérience est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes.

Les jetons sont indiscernables au toucher et tirés au hasard, ils ont donc tous la même probabilité d'être tiré.

Si on appelle succès l'événement « le jeton tiré est rouge », R est égale au nombre de succès, donc R suit la loi binomiale Bn;16.

De même, en appelant succès l'événement « le jeton tiré est bleu », on établit que B suit la loi binomiale Bn;13.

On en déduit leur espérance et leur variance :

E(R)=n6 et V(R)=n×16×56=5n36 ;

E(B)=n3 et V(B)=n×13×23=2n9.

b) Étudier la loi d'une variable aléatoire

L'expérience est toujours la répétition de n épreuves identiques et indépendantes.

Si on appelle succès l'événement « le jeton tiré n'est pas noir », S est égale au nombre de succès. Sur les 6 jetons de la boîte, 3 ne sont pas noirs, donc à chaque tirage, la probabilité que le jeton ne soit pas noir est égale à 12 (probabilité de succès). Donc S suit la loi binomiale Bn;12.

Son espérance est E(S)=n2 et sa variance est V(S)=n4.

c) Étudier les relations entre les espérances et les variances de plusieurs variables aléatoires

E(R)+E(B)=n6+n3=n2, donc V(R)+V(B)=V(S). Ce résultat était prévisible, il est conséquence de la linéarité de l'espérance car S = R + B.

V(R)+V(B)=5n36+2n9=13n36n4, donc V(R)+V(B)V(S).

Si les variables R et B étaient indépendantes, les nombres V(S) et V(R)+V(B) seraient égaux, R et B ne sont donc pas indépendantes.

Cette dépendance peut être justifiée directement : P(R=n et B=n)=0 (on ne peut pas avoir à la fois n jetons rouges et n jetons bleus) et pourtant P(R=n)×P(B=n)0 car P(R=n)0 et P(B=n)0 (il est possible que tous les jetons tirés soient rouges, ou qu'ils soient tous bleus).

à noter

On constate ici que la somme de deux variables aléatoires suivant des lois binomiales peut suivre une loi binomiale même si ces deux variables ne sont pas indépendantes.

> 2. a) Déterminer la variance de trois variables aléatoires

On généralise le raisonnement précédent :

R suit la loi binomiale Bn ; xx+y+z ;

B suit la loi binomiale Bn ; yx+y+z ;

S suit la loi binomiale Bn ; x+yx+y+z.

Donc V(R)= n xx+y+z 1xx+y+z, soit V(R)=n x(y+z)(x+y+z)2.

De même : V(B)=n y(x+z)(x+y+z)2 et V(S)=n (x+y)z(x+y+z)2.

b) Déterminer une condition sur le nombre de jetons dans une urne

V(S)=V(R)+V(B)n(x+y)z(x+y+z)2=nx(y+z)(x+y+z)2+ny(x+z)(x+y+z)2.

Or par hypothèse n ≠ 0, donc cette condition équivaut à :

z(x+y)=x(y+z)+y(x+z)

zx + zy = xy + xz + yx + yz

2 xy = 0.

C'est-à-dire finalement : x = 0 ou y = 0.

à noter

On a alors S = B ou S = R.

Donc V(S)=V(R)+V(B) si et seulement si il n'y a pas de jeton rouge ou pas de jeton bleu dans l'urne.

Partie B

> 1. Calculer une espérance de gain

Puisque la boîte contient 40 jetons dont 10 % de rouges et 30 % de bleus, il y a 4 jetons rouges, 12 bleus et 24 noirs.

Le gain de base est 2 euros.

Le tirage d'un jeton noir rapporte 2 euros, celui d'un jeton bleu rapporte 4 euros, et si le jeton tiré est rouge le joueur perd 8 euros.

Si on note G la variable aléatoire égale au gain (en euros) du joueur lors du tirage d'un jeton, la loi de G est donnée par le tableau suivant :

Tableau de 2 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : g; - 8; 2; 4; Ligne 2 : P(G = g); 110; 610; 310;

Le gain moyen que le joueur peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages est l'espérance E(G) de la variable aléatoire G.

E(G) = 8+12+1210, soit E(G) = 1,6.

Sur un grand nombre de tirages, le joueur peut espérer gagner en moyenne 1,60 euro par tirage.

> 2. a) Déterminer une fonction modélisant une situation

Avec les mêmes notations qu'à la question précédente, si le gain de base est égal à x euros, alors la loi de la variable aléatoire G est :

Tableau de 2 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : g; −x3; x; x2; Ligne 2 : P(G = g); 110; 610; 310;

Son espérance est E(G) = x3+6x+3x210=f(x)10, en posant :

f(x)=x3+3x2+6x.

Donc pour déterminer le gain de base pour lequel le gain moyen est maximal, on détermine le maximum sur [0;+[ de la fonction f.

b) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

La fonction f est une fonction polynôme, elle dérivable sur [0 ; + [ et, pour tout x dans cet intervalle :

f(x)=3x2+6x+6=3(x2+2x+2).

Le discriminant du trinôme x2+2x+2 est Δ = 4 + 8 = 12.

Il a deux racines : x1=2122=1+3 et x2=130.

On en déduit le signe de f(x) et les variations de f sur [0 ; + [ :

062_matT_2000_00_61C_tab01

On en déduit que la fonction f atteint son maximum sur [0 ; + [ en 1+3.

2,731+32,74 avec f(2,73)18,3923 et f(2,74)18,3920, donc pour que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal, on doit fixer le gain de base à 2,73 euros.

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