Partie A

> 1. a) Déterminer la loi de deux variables aléatoires

La boîte contient 6 jetons : 1 rouge, 2 bleus, 3 noirs.

Puisqu'il y a remise entre les tirages, l'expérience est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes.

Les jetons sont indiscernables au toucher et tirés au hasard, ils ont donc tous la même probabilité d'être tiré.

Si on appelle succès l'événement « le jeton tiré est rouge », R est égale au nombre de succès, donc R suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{6}\right)$.

De même, en appelant succès l'événement « le jeton tiré est bleu », on établit que B suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{3}\right)$.

On en déduit leur espérance et leur variance :

$E(R)=\frac{n}{6}$ et $V(R)=n\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{5n}{36}$;

$E(B)=\frac{n}{3}$ et $V(B)=n\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2n}{9}$.

b) Étudier la loi d'une variable aléatoire

L'expérience est toujours la répétition de n épreuves identiques et indépendantes.

Si on appelle succès l'événement « le jeton tiré n'est pas noir », S est égale au nombre de succès. Sur les 6 jetons de la boîte, 3 ne sont pas noirs, donc à chaque tirage, la probabilité que le jeton ne soit pas noir est égale à $\frac{1}{2}$ (probabilité de succès). Donc S suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n;\frac{1}{2}\right)$.

Son espérance est $E(S)=\frac{n}{2}$ et sa variance est $V(S)=\frac{n}{4}$.

c) Étudier les relations entre les espérances et les variances de plusieurs variables aléatoires

$E(R)+E(B)=\frac{n}{6}+\frac{n}{3}=\frac{n}{2}$, donc $V(R)+V(B)=V(S)$. Ce résultat était prévisible, il est conséquence de la linéarité de l'espérance car S = R + B.

$V(R)+V(B)=\frac{5n}{36}+\frac{2n}{9}=\frac{13n}{36}\ne \frac{n}{4}$, donc $V(R)+V(B)\ne V(S)$.

Si les variables R et B étaient indépendantes, les nombres $V(S)$ et $V(R)+V(B)$ seraient égaux, R et B ne sont donc pas indépendantes.

Cette dépendance peut être justifiée directement : $P(R=n \text{et} B=n)=0$ (on ne peut pas avoir à la fois n jetons rouges et n jetons bleus) et pourtant $P(R=n)\times P(B=n)\ne 0$ car $P(R=n)\ne 0$ et $P(B=n)\ne 0$ (il est possible que tous les jetons tirés soient rouges, ou qu'ils soient tous bleus).

> 2. a) Déterminer la variance de trois variables aléatoires

On généralise le raisonnement précédent :

R suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n ; \frac{x}{x+y+z}\right)$;

B suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n ; \frac{y}{x+y+z}\right)$;

S suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n ; \frac{x+y}{x+y+z}\right)$.

Donc $V(R)=n\frac{x}{x+y+z}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)$, soit $V(R)=n \frac{x(y+z)}{{(x+y+z)}^2}$.

De même : $V(B)=n \frac{y(x+z)}{{(x+y+z)}^2}$ et $V(S)=n \frac{(x+y)z}{{(x+y+z)}^2}$.

b) Déterminer une condition sur le nombre de jetons dans une urne

$V(S)=V(R)+V(B)\iff n\frac{(x+y)z}{{(x+y+z)}^2}=n\frac{x(y+z)}{{(x+y+z)}^2}+n\frac{y(x+z)}{{(x+y+z)}^2}$.

Or par hypothèse n ≠ 0, donc cette condition équivaut à :

$z(x+y)=x(y+z)+y(x+z)$

zx + zy = xy + xz + yx + yz

2 xy = 0.

C'est-à-dire finalement : x = 0 ou y = 0.

Donc $V(S)=V(R)+V(B)$ si et seulement si il n'y a pas de jeton rouge ou pas de jeton bleu dans l'urne.

Partie B

> 1. Calculer une espérance de gain

Puisque la boîte contient 40 jetons dont 10 % de rouges et 30 % de bleus, il y a 4 jetons rouges, 12 bleus et 24 noirs.

Le gain de base est 2 euros.

Le tirage d'un jeton noir rapporte 2 euros, celui d'un jeton bleu rapporte 4 euros, et si le jeton tiré est rouge le joueur perd 8 euros.

Si on note G la variable aléatoire égale au gain (en euros) du joueur lors du tirage d'un jeton, la loi de G est donnée par le tableau suivant :

Le gain moyen que le joueur peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages est l'espérance E(G) de la variable aléatoire G.

E(G) = $\frac{-8+12+12}{10}$, soit E(G) = 1,6.

Sur un grand nombre de tirages, le joueur peut espérer gagner en moyenne 1,60 euro par tirage.

> 2. a) Déterminer une fonction modélisant une situation

Avec les mêmes notations qu'à la question précédente, si le gain de base est égal à x euros, alors la loi de la variable aléatoire G est :

Son espérance est E(G) = $\frac{-x^3+6x+3x^2}{10}=\frac{f(x)}{10}$, en posant :

$f(x)=-x^3+3x^2+6x$.

Donc pour déterminer le gain de base pour lequel le gain moyen est maximal, on détermine le maximum sur $[\text{0};+\infty [$ de la fonction f.

b) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

La fonction f est une fonction polynôme, elle dérivable sur [0 ; + ∞[ et, pour tout x dans cet intervalle :

$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+6=3(-x^2+2x+2)$.

Le discriminant du trinôme $-x^2+2x+2$ est Δ = 4 + 8 = 12.

Il a deux racines : $x_1=\frac{-2-\sqrt[]{12}}{-2}=1+\sqrt[]{3}$ et $x_2=1-\sqrt[]{3}<mn>0</mn>$.

On en déduit le signe de $f^{\prime }(x)$ et les variations de f sur [0 ; + ∞[ :

On en déduit que la fonction f atteint son maximum sur [0 ; + ∞[ en $1+\sqrt[]{3}$.

avec $f(\mathrm{2,73})\approx \mathrm{18,3923}$ et $f(\mathrm{2,74})\approx \mathrm{18,3920}$, donc pour que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal, on doit fixer le gain de base à $\mathrm{2,73}$ euros.