Une boîte et des jetons de trois couleurs

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Sommes de variables aléatoires
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Sommes de variables aléatoires

Une boîte et des jetons de trois couleurs

50 min

5 points

Intérêt du sujet  On étudie la somme de deux variables aléatoires dans le cadre d’un tirage de jetons avec remise. On cherche ensuite à maximiser un gain par l’étude d’une fonction polynôme.

 

Une boîte contient des jetons indiscernables au toucher. Chacun de ces jetons est d’une seule couleur, soit rouge, soit bleu, soit noir.

On note x le nombre de jetons rouges, y le nombre de jetons bleus, z le nombre de jetons noirs contenus dans la boîte.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On tire successivement avec remise n jetons au hasard dans cette boîte.

On note R et B les variables aléatoires donnant respectivement le nombre de jetons rouges et le nombre de jetons bleus parmi les n tirés.

1. Dans cette question, on suppose x = 1, y = 2 et z = 3.

a) Déterminer la loi de probabilité de R et de B. Calculer leur espérance E(R) et E(B), et leur variance V(R) et V(B).

b) On note S la variable aléatoire donnant le nombre de jetons, parmi les n tirés, qui ne sont pas de couleur noire. Montrer que S suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres, calculer son espérance E(S) et sa variance V(S).

c) A-t-on E(S) = E(R) + E(B) ? V(S) = V(R) + V(B) ?

Justifier les réponses.

2. Dans cette question, x, y et z sont des entiers naturels quelconques.

a) Déterminer en fonction de x, y et z les variances V(R), V(B) et V(S).

b) À quelle condition sur x, y et z a-t-on V(S) = V(R) + V(B) ?

Partie B

On suppose maintenant que la boîte contient 40 jetons au total.

10 % de ces jetons sont rouges, 30 % sont bleus, les autres sont noirs.

Un joueur tire un jeton au hasard. Si ce jeton est noir, le joueur gagne le gain de base ; si le jeton est bleu, le joueur gagne le carré du gain de base ; si le jeton est rouge, le joueur perd le cube du gain de base.

1. On suppose que le gain de base est 2 euros.

Calculer le gain moyen que le joueur peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

2. On cherche à déterminer la valeur du gain de base telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.

a) On note x le gain de base. Montrer que le problème posé revient à étudier les extremums de la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x)=x3+3x2+6x.

b) Étudier les variations de f sur [0 ; + [ et conclure.

 

Les clés du sujet

Partie A

1. a) Les jetons sont indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité et les tirages successifs sont indépendants. Les variables aléatoires R et B suivent une loi binomiale.

b) On a à nouveau une loi binomiale.

c) On doit examiner, entre autres, la relation entre les variables aléatoires R, B et S, et l’indépendance des variables aléatoires R et B.

2. b) Utilisez la propriété n ≠ 0 pour simplifier la relation obtenue.

Partie B

1. Commencez par déterminer le nombre de jetons de chaque couleur.

2. b) Calculez la dérivée de f et étudiez son signe.