Partie 1. Étude du mouvement du ballon

▶ 1. Établir les coordonnées du vecteur accélération

On définit le ballon comme le système. Les actions de l'air sont négligées, seul le poids s'exerce sur le système. Appliquons alors la seconde loi de Newton : $\sum \overrightarrow{f_{\text{ext}}}=\frac{\overrightarrow{\text{d}p}}{\text{d}t}=\overrightarrow{P}$ avec $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ donc $\frac{\overrightarrow{\text{d}p}}{\text{d}t}=m\overrightarrow{g}.$

La masse du ballon étant constante $\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}=\frac{\text{d(}m\overrightarrow{v})}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ donc $\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}=\overrightarrow{g}$.

Par définition, $\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$ donc $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$. Par projection sur les axes du repère, on obtient :

$\left\{\begin{array}{c}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\right.$

▶ 2. Déterminer les équations horaires du mouvement

Par définition, $\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}$. Par intégration, on écrit les équations horaires de la vitesse :

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x=C_{\text{1}}\\ v_y=-gt+C_{\text{2}}\end{array}\right.$

$\text{Or }\overrightarrow{v\left(\text{O}\right)}=\overrightarrow{V_0}$ a pour composantes $\left\{\begin{array}{c}{v}_{0x}=V_0\text{cos}\text{α}\\ v_{0y}=V_0\text{sin}\text{α}\end{array}\right.$.

Donc $C_{\text{1}}=V_0\text{cos}\text{α}$ et $C_{\text{2}}=V_0\text{sin}\text{α}$.

Et $\left\{\begin{array}{c}{v}_x=V_0\text{cos}\text{α}\\ v_y=-gt+V_0\text{sin}\text{α}\end{array}\right.$.

De plus, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position. 

Après intégration, on obtient : $\left\{\begin{array}{c}x=V_0\text{ cos}\text{α}+C_{\text{3}}\\ y=-\frac{1}{2}g{t}^2+V_0\text{sin}\text{α}t+C_{\text{4}}\end{array}\right.$

Or à t = 0, le ballon est à l'origine du repère donc C₃ = C₄ = 0.

On retrouve bien les équations demandées.

▶ 3. Déterminer l'équation de la trajectoire

De la première relation, on tire $t=\frac{x}{V_0\cos \text{α}}$ que l'on substitue dans la seconde relation : $y=-\frac{1}{2}g{\left(\frac{x}{V_0\cos \text{α}}\right)}^2+V_0\sin \text{α}\times \frac{x}{V_0\cos \text{α}}$ Donc $y=-\frac{g}{2V_0{}^2{\cos }^2\text{α}}{x}^2+\tan \text{α}x$

▶ 4. Exploiter un graphique

Partie 2. Une chandelle réussie

▶ 1. Exploiter un graphique et utiliser les équations horaires

Si le ballon touche le sol alors y = 0 et donc : $-\frac{1}{2}gt+V_0\sin 60=0$

d'où : $t=\frac{2\times V_0\times \sin 60}{g}=\frac{2\times 10\times \sin 60}{\mathrm{9,81}}=\mathrm{1,76}\text{s}.$

Sur le graphique y(t) ci-dessus, le point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses correspond bien à cette valeur.

▶ 2. Déterminer la vitesse du joueur pour que la chandelle soit réussie

1^re méthode

Le joueur doit avoir la même vitesse horizontale que le ballon puisque c'est lui qui le lance et le récupère. Donc v₁ est égale à 5,0 m . s^–1.

2^e méthode

On connait le temps de vol du ballon. Or $x=V_0\cos \text{α}t$, la distance horizontale parcourue par le ballon est $x=10\times \cos 60\times \mathrm{1,76}=\mathrm{8,8}\text{m}$.

Or pour récupérer ce ballon, le joueur doit aussi parcourir cette distance dans le même temps. Il doit se déplacer avec une vitesse $v_1=\frac{D}{T}=\frac{\mathrm{8,8}}{\mathrm{1,76}}=\mathrm{5,0}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.