Annale corrigée Exercice

Une chandelle réussie ?

Sujet complet • Exercice 2

Une chandelle réussie ?

1 heure

6 points

Intérêt du sujet • Pour un ballon de rugby, passer la ligne de défense adverse peut se faire en la survolant. Comment le lancer pour qu'il retombe « au bon endroit » et soit récupéré par un coéquipier ? Les équations sur la chute libre ont la réponse.

 

Le rugby est un sport d'équipe qui s'est développé dans les pays anglo-saxons à la fin du xixe siècle.

Document La chandelle

Au rugby, une « chandelle » désigne un coup de pied permettant d'envoyer le ballon en hauteur par-dessus la ligne de défense adverse. L'objectif pour l'auteur de cette action est d'être au point de chute pour récupérer le ballon derrière le rideau défensif.

D'après www.francerugby.fr

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,81 N . kg−1.

Pour simplifier l'étude, les joueurs et le ballon seront supposés ponctuels.

On négligera toutes les actions dues à l'air.

Le joueur A est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse v1. Afin d'éviter un plaquage, il réalise une chandelle au-dessus de son adversaire.

On définit un repère (O,i,j) :

origine : position initiale du ballon ;

vecteur unitaire i de même direction et de même sens que v1 ;

vecteur unitaire j vertical et vers le haut.

À l'instant t = 0 s, le vecteur vitesse du ballon fait un angle α égal à 60° avec l'axe Ox et sa valeur est v0 = 10,0 m . s−1.

Le graphique ci-dessous représente la trajectoire du ballon dans le repère choisi.

pchT_1305_09_01C_06

Partie 1. Étude du mouvement du ballon

 1. Établir les coordonnées ax et ay du vecteur accélération du point M représentant le ballon. (1 point)

 2. Montrer que les équations horaires du mouvement du point M sont : x(t) = (V0 cos α)t et y(t) = – 12gt2 + (V0 sin α)t. (1,5 point)

 3. En déduire l'équation de la trajectoire du point M :

y(x)=g2(v0cos2α)2x2+(tanα)x. (0,5 point)

 4. On donne ci-après les représentations graphiques de l'évolution dans le temps des 4 grandeurs x, y, vx et vy, coordonnées des vecteurs position et vitesse du point M. Écrire sous chaque courbe l'expression de la grandeur qui lui correspond et justifier. (1 point)

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ; ; Ligne 2 : Équation :Justification :; Équation :Justification :; Ligne 3 : ; ; Ligne 4 : Équation :Justification :; Équation :Justification :;

Partie 2. Une chandelle réussie

 1. Déterminer par le calcul le temps dont dispose le joueur pour récupérer le ballon avant que celui-ci ne touche le sol.

Vérifier la valeur obtenue en faisant clairement apparaître la réponse sur l'un des graphes du tableau de l'annexe. (1 point)

 2. Déterminer de deux manières différentes la valeur de la vitesse v1 du joueur pour que la chandelle soit réussie. (1 point)

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

pchT_2000_00_33C_01

Les conseils du correcteur

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Partie 1. Étude du mouvement du ballon; ▶ 1 à 3. Dans les exercices d'équations horaires, le piège est de ne pas démontrer les relations. Voir la  de la boîte à outils.; Ligne 2 : Partie 2. Une chandelle réussie; ▶ 2. Pour la première méthode. Utilisez le fait que le coureur se retrouve à tout instant sous le ballon, donc à la même abscisse.Pour la seconde méthode. Utilisez les équations pour déterminer la distance parcourue par le joueur pendant le temps de vol du ballon, puis calculez la vitesse moyenne du joueur.;

Partie 1. Étude du mouvement du ballon

1. Établir les coordonnées du vecteur accélération

On définit le ballon comme le système. Les actions de l'air sont négligées, seul le poids s'exerce sur le système. Appliquons alors la seconde loi de Newton : fext=dpdt=P avec P=mg donc dpdt=mg.

La masse du ballon étant constante dpdt=d(mv)dt=mdvdt donc dvdt=g.

Par définition, a=dvdt donc a=g. Par projection sur les axes du repère, on obtient :

attention

Faites toute la démonstration, il ne faut pas se contenter d'écrire a=g.

ax= 0ay= g

2. Déterminer les équations horaires du mouvement

Par définition, a=dvdt. Par intégration, on écrit les équations horaires de la vitesse :

vx=C1vy= gt+C2

Or v(O)=V0 a pour composantes v0x=V0cosαv0y=V0sinα.

Donc C1=V0cosα et C2=V0sinα.

Et vx=V0cosαvy=gt+V0sinα.

De plus, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.

Après intégration, on obtient : x=V0 cosα+C3y= 12gt2+V0sinαt+C4

Or à t = 0, le ballon est à l'origine du repère donc C3 = C4 = 0.

On retrouve bien les équations demandées.

3. Déterminer l'équation de la trajectoire

De la première relation, on tire t=xV0cosα que l'on substitue dans la seconde relation : y=12gxV0cosα2+V0sinα×xV0cosα Donc y=g2V02cos2αx2+tanαx

4. Exploiter un graphique

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ; ; Ligne 2 : Équation : vx=V0cos αJustification : La courbe est une fonction constante. La vitesse horizontale est la seule des quatre grandeurs à rester constante.; Équation : x=V0cos αtJustification : Seule la grandeur x est linéaire en fonction du temps. Et son coefficient directeur est bien 5 m · s–1 (v0 cos 60).; Ligne 3 : ; ; Ligne 4 : Équation : vy=−gt+V0sin αJustification : La courbe est une fonction affine décroissante au cours du temps. Elle correspond à la vitesse verticale.; Équation : y=− 12gt2+V0sin αtJustification : La courbe est une parabole. Elle représente une relation du second degré en t.;

Partie 2. Une chandelle réussie

1. Exploiter un graphique et utiliser les équations horaires

Si le ballon touche le sol alors y = 0 et donc : 12gt+V0sin60=0

d'où : t=2×V0×sin60g=2×10×sin609,81=1,76s.

Sur le graphique y(t) ci-dessus, le point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses correspond bien à cette valeur.

2. Déterminer la vitesse du joueur pour que la chandelle soit réussie

1re méthode

Le joueur doit avoir la même vitesse horizontale que le ballon puisque c'est lui qui le lance et le récupère. Donc v1 est égale à 5,0 m . s–1.

2e méthode

On connait le temps de vol du ballon. Or x=V0cosαt, la distance horizontale parcourue par le ballon est x=10×cos60×1,76=8,8m.

Or pour récupérer ce ballon, le joueur doit aussi parcourir cette distance dans le même temps. Il doit se déplacer avec une vitesse v1=DT=8,81,76=5,0ms1.

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