▶ 1. Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On sait que, pour tout t dans [0 ; + ∞[, $h^{\prime }(t)=\text{0,02 }h(t)\text{(}2-h(t)\text{)}$.

h ne s'annule pas sur [0 ; + ∞[, on peut donc diviser cette égalité par ${(h(t))}^2$ et on obtient que, pour tout t dans [0 ; + ∞[ :

$\frac{h^{\prime }(t)}{{(h(t))}^2}=\frac{\mathrm{0,02}}{h(t)}\text{(}2-h(t)\text{)}$ $=\frac{\mathrm{0,04}}{h(t)}-\mathrm{0,02}$.

Soit $-u^{\prime }(t)=\text{0,04 }u(t)-\mathrm{0,02}$.

Car, pour tout t dans [0 ; + ∞[, $u^{\prime }(t)=-\frac{h^{\prime }(t)}{{(h(t))}^2}$.

Donc, pour tout t dans [0 ; + ∞[, $u^{\prime }(t)=-\text{0,04 }u(t)+\mathrm{0,02}$, ce qui signifie que $u$ est solution sur $[\text{0 }; +\infty [$ de l'équation (E2) : $z^{\prime }=-\text{0,04 }z+\mathrm{0,02}$.

▶ 2. a) Déterminer une solution particulière constante d'une équation différentielle

Soit C un réel et ϕ la fonction constante telle que, pour tout réel t supérieur ou égal à 0, $\text{φ}(t)=C$. Alors, pour tout t ≥ 0, ${\text{φ}}^{\prime }(t)=0$.

ϕ est solution de (E₂) si et seulement si, pour tout t ≥ 0, ${\text{φ}}^{\prime }(t)=-\text{0,04 }\text{φ}(t)+\mathrm{0,02}$, soit 0,04C = 0,02, c'est-à-dire finalement : $C=\frac{1}{2}$.

b) Déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle

D'après le cours, les solutions de (E₂) sont les fonctions $t\mapsto k{\text{e}}^{-\text{0,04}t}+\frac{1}{2}$, où k est une constante réelle.

▶ 3. Déterminer une solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée et interpréter

$h(0)=\mathrm{0,1}$, car initialement le plant mesure 0,1 m, donc $u(0)=\frac{1}{h(0)}=10$, avec $u(t)=k{\text{e}}^{-\text{0,04}t}+\frac{1}{2}$, donc $k+\frac{1}{2}=10$, soit $k=\frac{19}{2}$. Pour tout t ≥ 0, $u(t)=\frac{19}{2}$ ${\text{e}}^{-\text{0,04}t}+\frac{1}{2}=\frac{1+{\text{19e}}^{-\text{0,04}t}}{2}$. On en déduit : $h(t)=\frac{2}{1+{\text{19e}}^{-\text{0,04}t}}$.

▶ 4. a) Déterminer la limite d'une fonction en + ∞

On sait que $\underset{t\to +\infty }{\lim }(-\text{0,04}t)=-\infty \text{et} \underset{X\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^X=0$, donc par opérations :

$\underset{t\to +\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^{-\mathrm{0,04}t}=0\text{ et }\underset{t\to +\text{∞}}{\lim }h(t)=2.$

La hauteur limite du plant de maïs est de 2 mètres.

b) Calculer à partir de quand une fonction prend des valeurs supérieures à une valeur donnée

On résout l'inéquation $h(t)\ge \mathrm{1,5}$.

Cette inéquation équivaut successivement à :

$\frac{2}{1+{\text{19 e}}^{-\text{0,04 }t}}\ge \mathrm{1,5}$

$1+{\text{19 e}}^{-\text{0,04 }t}\le \frac{4}{3}$

${\text{19 e}}^{-\text{0,04 }t}\le \frac{1}{3}$

${\text{e}}^{-\text{0,04 }t}\le \frac{1}{57}$

${\text{e}}^{\text{0,04 }t}\ge 57$

$\mathrm{0,04}t\ge \ln (57)$

$t\ge \frac{\text{ln}(57)}{\mathrm{0,04}}$.

Or, $\frac{\text{ln}(57)}{\mathrm{0,04}}\approx \mathrm{101,08}$. Il faut donc un peu plus de 101 jours pour que le plant atteigne 1,50 m.

▶ 5. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout t dans [0 ; + ∞[ :

$h^{\prime }(t)=-2\frac{19\times (-\mathrm{0,04}){\text{e}}^{-\mathrm{0,04}t}}{{(1+{\text{19e}}^{-\text{0,04}t})}^2}=$ $\frac{{\text{1,52e}}^{-\mathrm{0,04}t}}{{(1+{\text{19e}}^{-\text{0,04}t})}^2}$.

b) Déterminer l'instant où une vitesse de croissance est maximale

En posant $\text{ψ}(T)=\frac{T}{{(1+\text{19}T)}^2}$, on a $h^{\prime }(t)=\text{1,52 }\text{ψ}({\text{e}}^{-\mathrm{0,04}t})$, donc $h^{\prime }(t)$ est maximal lorsque ${\text{e}}^{-\mathrm{0,04}t}=T_0$, où T₀ est la valeur de T telle que $\text{ψ}(T)$ soit maximum.

c) Étudier les variations d'une fonction

ψ est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout T dans cet intervalle :

${\text{ψ}}^{\prime }(T)=\frac{{(1+19T)}^2-T\times 2(1+19T)\times 19}{{(1+19T)}^4}=\frac{1-19T}{{(1+19T)}^3}$.

Pour tout T dans [0 ; + ∞[, ${(1+19T)}^3>0$, donc ${\text{ψ}}^{\prime }(T)$ a le signe de 1 - 19T.

${\text{ψ}}^{\prime }(T)=0$ si et seulement si $T=\frac{1}{19}$ ; ψ est strictement croissante sur $\left[\text{0};\frac{1}{19}\right]$, strictement décroissante sur $\left[\frac{1}{19};+\text{∞}\right[$. Elle atteint son maximum en $T_0=\frac{1}{19}$.

On en déduit que la vitesse de croissance du plant est maximale lorsque ${\text{e}}^{-\mathrm{0,04}t}=\frac{1}{19}$, c'est-à-dire ${\text{e}}^{\mathrm{0,04}t}=19$, ce qui équivaut à 0,04t = ln(19) et $t=\frac{\ln 19}{\mathrm{0,04}}\approx \mathrm{73,6}$.

La vitesse de croissance du plant est donc maximale entre le 73^e et le 74^e jour.