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Une équation logistique

Sujet complet • Exercice 3

Une équation logistique

45 min

4 points

Intérêt du sujet  On modélise la croissance d'une plante par une équation différentielle que l'on résout à l'aide d'une fonction auxiliaire.

 

On étudie l'évolution en fonction du temps de la hauteur d'un plant de maïs. On modélise cette croissance par la fonction : t h(t), définie sur [0 ; + [, où t est le temps en jours et h(t) la hauteur en mètres.

Différentes observations permettent d'affirmer que la fonction h est solution de l'équation différentielle (E1) : y=0,02 y(2y).

Cette équation est appelée équation logistique. Elle a été proposée vers 1840 par Pierre-François Verhulst pour modéliser l'évolution d'une population, en réponse au modèle de Malthus. Celui-ci prévoyait un taux de natalité et un taux de mortalité constants, Verhulst a émis l'hypothèse que le premier diminue et le second augmente au cours du temps.

1. On suppose que h ne s'annule pas sur [0 ; + [ et on pose u=1h. Montrer que la fonction u est solution de l'équation différentielle (E2) : z=0,04z+0,02.

2. a) Déterminer une constante réelle C telle que la fonction constante ϕ : t C soit solution sur [0 ; + [ de l'équation (E2).

b) En déduire les solutions de (E2).

3. On sait qu'initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m. Déterminer­ l'expression de h(t) en fonction de t.

4. a) Déterminer la hauteur limite du plant de maïs.

b) Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure ou égale à 1,50 m.

5. Dans cette question, on cherche à déterminer au bout de combien de jours la vitesse de croissance du plant est maximale. On admet que la vitesse de croissance à l'instant t est égale à h(t).

a) Montrer que, pour tout t dans [0 ; + ∞[, h(t)=1,52e0,04t(1+19e0,04t)2.

b) Monter que le problème posé revient à déterminer le maximum sur [0 ; + [ de la fonction ψ : TT(1+19T)2

c) Étudier les variations de ψ sur [0 ; + [ et conclure.

 

Les clés du sujet

1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée de l'inverse d'une fonction.

2. a) La dérivée d'une fonction constante est nulle.

b) Appliquez un résultat du cours.

3. On a une « condition initiale » donnée.

4. a) Appliquez les résultats du cours sur la fonction exponentielle.

b) Écrivez et résolvez une inéquation.

5. b) Posez T=e0,04 t.

1. Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On sait que, pour tout t dans [0 ; + [, h(t)=0,02 h(t)(2h(t)).

h ne s'annule pas sur [0 ; + [, on peut donc diviser cette égalité par (h(t))2 et on obtient que, pour tout t dans [0 ; + [ :

h(t)(h(t))2=0,02h(t)(2h(t)) =0,04h(t)0,02.

Soit u(t)=0,04 u(t)0,02.

Car, pour tout t dans [0 ; + ∞[, u(t)=h(t)(h(t))2.

Donc, pour tout t dans [0 ; + [, u(t)=0,04 u(t)+0,02, ce qui signifie que u est solution sur [; +[ de l'équation (E2) : z=0,04 z+0,02.

2. a) Déterminer une solution particulière constante d'une équation différentielle

Soit C un réel et ϕ la fonction constante telle que, pour tout réel t supérieur ou égal à 0, φ(t)=C. Alors, pour tout t ≥ 0, φ(t)=0.

ϕ est solution de (E2) si et seulement si, pour tout t ≥ 0, φ(t)=0,04 φ(t)+0,02, soit 0,04C = 0,02, c'est-à-dire finalement : C=12.

b) Déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle

D'après le cours, les solutions de (E2) sont les fonctions tke0,04t+12, où k est une constante réelle.

3. Déterminer une solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée et interpréter

h(0)=0,1, car initialement le plant mesure 0,1 m, donc u(0)=1h(0)=10, avec u(t)=ke0,04t+12, donc k+12=10, soit k=192. Pour tout t ≥ 0, u(t)=192 e0,04t+12=1+19e0,04t2. On en déduit : h(t)=21+19e0,04t.

4. a) Déterminer la limite d'une fonction en +

On sait que limt+(0,04t)= et limXeX=0, donc par opérations :

limt+e0,04t=0 et limt+h(t)=2.

La hauteur limite du plant de maïs est de 2 mètres.

b) Calculer à partir de quand une fonction prend des valeurs supérieures à une valeur donnée

On résout l'inéquation h(t)1,5.

Cette inéquation équivaut successivement à :

rappels

Pour tout réel x, ex=1ex.

La fonction ln est strictement ­croissante sur [0 ; + [.

21+19 e0,04 t1,5

1+19 e0,04 t43

19 e0,04 t13

e0,04 t157

e0,04 t57

0,04tln(57)

tln(57)0,04.

Or, ln(57)0,04101,08. Il faut donc un peu plus de 101 jours pour que le plant atteigne 1,50 m.

5. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout t dans [0 ; + ∞[ :

h(t)=219×(0,04)e0,04t(1+19e0,04t)2= 1,52e0,04t(1+19e0,04t)2.

b) Déterminer l'instant où une vitesse de croissance est maximale

En posant ψ(T)=T(1+19T)2, on a h(t)=1,52 ψ(e0,04t), donc h(t) est maximal lorsque e0,04t=T0, où T0 est la valeur de T telle que ψ(T) soit maximum.

c) Étudier les variations d'une fonction

ψ est dérivable sur [0 ; + ∞[ et pour tout T dans cet intervalle :

ψ(T)=(1+19T)2T×2(1+19T)×19(1+19T)4=119T(1+19T)3.

Pour tout T dans [0 ; + ∞[, (1+19T)3>0, donc ψ(T) a le signe de 1 - 19T.

ψ(T)=0 si et seulement si T=119 ; ψ est strictement croissante sur 0;119, strictement décroissante sur 119;+. Elle atteint son maximum en T0=119.

On en déduit que la vitesse de croissance du plant est maximale lorsque e0,04t=119, c'est-à-dire e0,04t=19, ce qui équivaut à 0,04t = ln(19) et t=ln190,0473,6.

La vitesse de croissance du plant est donc maximale entre le 73e et le 74e jour.

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