Une ferme piscicole

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Une ferme piscicole

Matrices et suites

matT_1406_07_03C

Ens. de spécialité

37

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note respectivement an et bn les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a0= 200 et celui du bassin B est b0= 100.

>1. Justifier que a1= 400 et b1= 300 puis calculer a2 et b2.

>2. On désigne par A et B les matrices telles que et et pour tout entier naturel n, on pose .

a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, Xn+1=AXn+B.

b) Déterminer les réels x et y tels que .

c) Pour tout entier naturel n, on pose .

Démontrer que pour tout entier naturel n, Yn+1=AYn.

>3. Pour tout entier naturel n, on pose Zn=Y2n.

a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Zn+1=A2Zn. En déduire que pour tout entier naturel n, Zn+1= 2Zn.

b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n :

Y2n= 2nY0.

En déduire que Y2n+1= 2nY1 puis démontrer que pour tout entier naturel n :

a2n= 600 × 2n − 400 et a2n+1= 800 × 2n − 400.

>4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.

a) On donne l’algorithme suivant.

 

Variables

a, p et n sont des entiers naturels.

Initialisation

Demander à l’utilisateur la valeur de p.

Traitement

Si p est pair

 Affecter à n la valeur

 Affecter à a la valeur 600 × 2n− 400.

Sinon

 Affecter à n la valeur

 Affecter à a la valeur 800 × 2n− 400.

Fin de Si.

Sortie

Afficher a.

 

Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.

b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

  • Calculs sur les matrices  C5 3. a)

Nos coups de pouce

>3. a) Pensez à exploiter la relation de la question 2. c) en remarquant successivement que les indices peuvent se décomposer comme suit :

, puis .

>3. b) Ne perdez pas de vue la relation établie à la question 2. c) et décomposez les indices comme suit : .

>4. a) Faites le lien entre le calcul de dans l’algorithme et les indices dans les formules établies à la question 3. b).

Corrigé
Corrigé

>1. Déterminer les premiers termes de deux suites

  • est le nombre de poissons dans le bassin A au bout d’une année.

D’après l’énoncé, chaque année le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait : il en vend donc la première année . La vente de chaque poisson permettant l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, à la fin de la première année, poissons dans le bassin A, auxquels viendront s’ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année. Ainsi .

  • est le nombre de poissons dans le bassin B au bout d’une année.

D’après l’énoncé, chaque année le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, à la fin de la première année, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s’ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année. Ainsi .

  • Lors de la deuxième année, le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait : il en vend donc . La vente de chaque poisson permettant l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, à la fin de la deuxième année, poissons dans le bassin A, auxquels viendront s’ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année. Ainsi .

Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, à la fin de la deuxième année, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s’ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année. Ainsi .

>2. a) Justifier une égalité matricielle

Pour tout entier naturel , lors de l’année , le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait : il en vend donc . La vente de chaque poisson permettant l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, au bout de années, poissons dans le bassin A, auxquels viendront s’ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année.

Ainsi .

Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, au bout de années, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s’ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année.

Ainsi .

Ainsi, pour tout entier naturel,.

b) Résoudre une équation matricielle

Les réelsetcherchés sontet.

c) Démontrer une relation de récurrence

Pour tout entier naturel  :

et .

Ainsi, pour tout entier naturel,.

>3. a) Démontrer une relation de récurrence via un calcul matriciel

Pour tout entier naturel

Notez bien

Pour tout entier naturel , (question 2. c)).

Notez bien

est la matrice identité d’ordre 2.

Or

Nous en déduisons que, pour tout entier naturel

.

b) Expliciter le terme général d’une suite

  • Pour tout entier naturel

  • Pour tout entier naturel

Par identification, et .

  • Pour tout entier naturel

Par identification, et .

>4. a) Identifier le rôle d’un algorithme

La valeur entrée correspond au nombre d’années écoulées.

Si est pair, alors reçoit la valeur  ; en affectant à la valeur , on calcule en fait .

Si est impair, alors reçoit la valeur  ; en affectant à la valeur , on calcule en fait .

Cet algorithme permet donc de connaître le nombre de poissons présents dans le bassin A au bout deannées.

b) Écrire un algorithme

 

Variables

, et sont des entiers naturels

Initialisation

reçoit la valeur 0

reçoit la valeur 200

Traitement

Tant que

reçoit

Si est pair

Affecter à la valeur

Affecter à la valeur

Sinon

Affecter à la valeur

Affecter à la valeur

Fin Si

Fin Tant que

Sortie

Afficher