Corpus Corpus 1

Une ferme piscicole

Matrices et suites

matT_1406_07_03C

Ens. de spécialité

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note respectivement a_n et b_n les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a₀ = 200 et celui du bassin B est b₀ = 100.

>1. Justifier que a₁ = 400 et b₁ = 300 puis calculer a₂ et b₂.

>2. On désigne par A et B les matrices telles que et et pour tout entier naturel n, on pose .

a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, X_n₊₁=AX_n+B.

b) Déterminer les réels x et y tels que .

c) Pour tout entier naturel n, on pose .

Démontrer que pour tout entier naturel n, Y_n₊₁=AY_n.

>3. Pour tout entier naturel n, on pose Z_n =Y₂_n.

a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Z_n₊₁=A²Z_n. En déduire que pour tout entier naturel n, Z_n₊₁= 2Z_n.

b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n :

Y₂_n = 2ⁿY₀.

En déduire que Y₂_n₊₁= 2ⁿY₁ puis démontrer que pour tout entier naturel n :

a₂_n = 600 × 2ⁿ − 400 et a₂_n₊₁= 800 × 2ⁿ − 400.

>4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.

a) On donne l’algorithme suivant.

Variables	a, p et n sont des entiers naturels.
Initialisation	Demander à l’utilisateur la valeur de p.
Traitement	Si p est pair Affecter à n la valeur Affecter à a la valeur 600 × 2ⁿ− 400. Sinon Affecter à n la valeur Affecter à a la valeur 800 × 2ⁿ− 400. Fin de Si.
Sortie	Afficher a.

Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.

b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Calculatrice

Calculs sur les matrices  C5  → 3. a)

Nos coups de pouce

>3. a) Pensez à exploiter la relation de la question 2. c) en remarquant successivement que les indices peuvent se décomposer comme suit :

, puis .

>3. b) Ne perdez pas de vue la relation établie à la question 2. c) et décomposez les indices comme suit : .

>4. a) Faites le lien entre le calcul de dans l’algorithme et les indices dans les formules établies à la question 3. b).

Corrigé

>1. Déterminer les premiers termes de deux suites

est le nombre de poissons dans le bassin A au bout d’une année.

D’après l’énoncé, chaque année le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait : il en vend donc la première année . La vente de chaque poisson permettant l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, à la fin de la première année, poissons dans le bassin A, auxquels viendront s’ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année. Ainsi .

est le nombre de poissons dans le bassin B au bout d’une année.

D’après l’énoncé, chaque année le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, à la fin de la première année, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s’ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année. Ainsi .

Lors de la deuxième année, le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait : il en vend donc . La vente de chaque poisson permettant l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, à la fin de la deuxième année, poissons dans le bassin A, auxquels viendront s’ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année. Ainsi .

Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, à la fin de la deuxième année, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s’ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année. Ainsi .

>2. a) Justifier une égalité matricielle

Pour tout entier naturel , lors de l’année , le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait : il en vend donc . La vente de chaque poisson permettant l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, au bout de années, poissons dans le bassin A, auxquels viendront s’ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année.

Ainsi .

Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, au bout de années, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s’ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année.

Ainsi .

Ainsi, pour tout entier naturel,.

b) Résoudre une équation matricielle

Les réelsetcherchés sontet.

c) Démontrer une relation de récurrence

Pour tout entier naturel  :

et .

Ainsi, pour tout entier naturel,.

>3. a) Démontrer une relation de récurrence via un calcul matriciel

Pour tout entier naturel

Notez bien

Pour tout entier naturel , (question 2. c)).

Notez bien

est la matrice identité d’ordre 2.

Nous en déduisons que, pour tout entier naturel

b) Expliciter le terme général d’une suite

Pour tout entier naturel

Pour tout entier naturel

Par identification, et .

Pour tout entier naturel

Par identification, et .

>4. a) Identifier le rôle d’un algorithme

La valeur entrée correspond au nombre d’années écoulées.

Si est pair, alors reçoit la valeur  ; en affectant à la valeur , on calcule en fait .

Si est impair, alors reçoit la valeur  ; en affectant à la valeur , on calcule en fait .

Cet algorithme permet donc de connaître le nombre de poissons présents dans le bassin A au bout deannées.

b) Écrire un algorithme

Variables		, et sont des entiers naturels
Initialisation		reçoit la valeur 0
		reçoit la valeur 200
Traitement		Tant que
		reçoit
		Si est pair
		Affecter à la valeur
		Affecter à la valeur
		Sinon
		Affecter à la valeur
		Affecter à la valeur
		Fin Si
		Fin Tant que
Sortie		Afficher

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