Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

• il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B 
• la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note respectivement a_n et b_n les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a₀ = 200 et celui du bassin B est b₀ = 100.

a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, X_n+1=AX_n+B.

b) Déterminer les réels x et y tels que .

c) Pour tout entier naturel n, on pose .

Démontrer que pour tout entier naturel n, Y_n+1=AY_n.

a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Z_n+1=A²Z_n. En déduire que pour tout entier naturel n, Z_n+1= 2Z_n.

b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n :

Y_2n = 2ⁿY₀.

En déduire que Y_2n+1= 2ⁿY₁ puis démontrer que pour tout entier naturel n :

a_2n = 600 × 2ⁿ − 400 et a_2n+1= 800 × 2ⁿ − 400.

a) On donne l’algorithme suivant.

Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.

b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.