Matrices et suites
matT_1406_07_03C
Ens. de spécialité
37
CORRIGE
France métropolitaine • Juin 2014
Exercice 4 • 5 points
Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :
- il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B
- la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note respectivement an et bn les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a0
et
et pour tout entier naturel n, on pose
.
.
.
Démontrer que pour tout entier naturel n, Yn+1
Y2n
En déduire que Y2n+1
a2n
Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Matrices • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Calculatrice
- Calculs sur les matrices
C5 → 3. a)
Nos coups de pouce
.
dans l'algorithme et les indices dans les formules établies à la question 3. b).
> 1. Déterminer les premiers termes de deux suites
D'après l'énoncé, chaque année le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait : il en vend donc la première année . La vente de chaque poisson permettant l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, à la fin de la première année,
poissons dans le bassin A, auxquels viendront s'ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année. Ainsi
.
D'après l'énoncé, chaque année le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, à la fin de la première année, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s'ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année. Ainsi
.
- Lors de la deuxième année, le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait : il en vend donc
. La vente de chaque poisson permettant l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, à la fin de la deuxième année,
poissons dans le bassin A, auxquels viendront s'ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année. Ainsi
.
Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, à la fin de la deuxième année, poissons dans le bassin B, auxquels viendront s'ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année. Ainsi
.
> 2. a) Justifier une égalité matricielle
Pour tout entier naturel , lors de l'année
, le pisciculteur vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait : il en vend donc
. La vente de chaque poisson permettant l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A, il y aura donc, au bout de
années,
poissons dans le bassin A, auxquels viendront s'ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin A chaque année.
Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B. Il y aura donc, au bout de années,
poissons dans le bassin B, auxquels viendront s'ajouter les 100 poissons que le pisciculteur achète en plus pour le bassin B chaque année.
b) Résoudre une équation matricielle
c) Démontrer une relation de récurrence
> 3. a) Démontrer une relation de récurrence via un calcul matriciel
b) Expliciter le terme général d'une suite
> 4. a) Identifier le rôle d'un algorithme
La valeur entrée correspond au nombre d'années écoulées.
Si est pair, alors
reçoit la valeur
en affectant à
la valeur
, on calcule en fait
.
Si est impair, alors
reçoit la valeur
en affectant à
la valeur
, on calcule en fait
.