Une fonction sous toutes les coutures

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Nouvelle-Calédonie


Nouvelle-Calédonie • Novembre 2017

Exercice 2 • 5 points • 1 h

Une fonction sous toutes les coutures

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Dérivation • Continuité

 

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par :

f(x)=(ln(x))2x.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f et interpréter graphiquement le résultat.

2. a) Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +[ :

f(x)=4(ln(x)x)2.

b) En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de + .

3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +[ et on note f sa fonction dérivée.

a) Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +[ :

f(x)=ln(x)(2ln(x))x2.

b) Étudier le signe de f(x) selon les valeurs du nombre réel x strictement positif.

c) Calculer f(1) et f(e2).

On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.

matT_1711_11_00C_tab1

4) Démontrer que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur ]0 ; +[ et donner un encadrement de α d’amplitude 10–2.

Les clés du sujet

2. b) Déterminez la limite de la fonction f en + en utilisant l’expression de f(x) justifiée à la question 2. a).

3. b) Précisez le signe de ln(x) et étudiez celui de 2ln(x) sur l’intervalle ]0 ; +[.

Dressez ensuite un tableau de signes pour conclure sur le signe de f(x).

4. Justifiez que l’équation f(x)=1 n’admet aucune solution sur l’intervalle [1 ; +[.

Appliquez ensuite le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle ]0 ; 1] pour conclure.