▶ 1. Déterminer une limite et l'interpréter

Pour tout nombre réel $x>0$, nous avons $f(x)=\frac{1}{x}\times {\left(\ln (x)\right)}^2$.

Comme $\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln (x)=-\infty ,$ par produit, nous avons :

$\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\left(\ln (x)\right)}^2=+\infty .$

De plus, nous avons :

$\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty .$

Par conséquent, par produit, $\boxed{\underset{\begin{array}{l}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty .}$

Ainsi, la droite d'équation $x=0$ est une asymptote à la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

▶ 2. a) Établir une égalité

Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\left]0;+\infty \right[$, nous avons :

$\begin{array}{c}f(x)=\frac{{\left(\ln \left({\left(\sqrt{x}\right)}^2\right)\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2}\\ ={\left(\frac{\ln \left({\left(\sqrt{x}\right)}^2\right)}{\sqrt{x}}\right)}^2\\ ={\left(\frac{2\ln \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)}^2\\ =\boxed{4\times {\left(\frac{\ln \left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}\right)}^2}.\end{array}$

b) Déterminer une limite et l'interpréter

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$ (croissances comparées), nous avons alors :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{X\to +\infty }{\lim }4\times {\left(\frac{\ln \left(X\right)}{X}\right)}^2=0.$

Nous en déduisons que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.

▶ 3. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

La fonction $f$ est le quotient de deux fonctions $u:x\mapsto {\left(\ln (x)\right)}^2$ et $v:x\mapsto x$ définies et dérivables sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[.$ Comme la fonction $v$ ne s'annule pas sur cet intervalle, la fonction $f$ y est dérivable.

Comme $u^{\prime }:x\mapsto 2\times \frac{1}{x}\times \ln (x)$ et $v^{\prime }:x\mapsto 1$ alors la fonction dérivée $f^{\prime }$ est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\times v(x)-u(x)\times v^{\prime }(x)}{{\left(v(x)\right)}^2}\\ =\frac{2\times \frac{1}{x}\times \ln (x)\times x-{\left(\ln (x)\right)}^2\times 1}{x^2}\\ =\frac{2\ln (x)-{\left(\ln (x)\right)}^2}{x^2}\\ =\boxed{\frac{\ln (x)\times (2-\ln (x))}{x^2}}.\end{array}$

b) Étudier le signe d'une expression

Pour tout nombre réel $x>0,$ nous avons :

et $\ln (x)=0\iff x=1$ (fonction de référence),

et :

et $2-\ln (x)=0\iff 2=\ln (x)\iff {\text{e}}^2=x$.

Ainsi, nous avons :

La fonction dérivée $f^{\prime }$ s'annule en 1 et en ${\text{e}}^2$, est strictement négative sur $]0;1[$ et sur $]{\text{e}}^2;+\infty [$ et enfin est strictement positive sur $]1;{\text{e}}^2[$.

c) Déterminer des images par une fonction

Nous avons :

$f\left(1\right)=\frac{{\left(\ln (1)\right)}^2}{1}=\frac{0^2}{1}=0$ et $f\left({\text{e}}^{\text{2}}\right)=\frac{{\left(\ln ({\text{e}}^2)\right)}^2}{{\text{e}}^2}=\frac{{\left(2\times \ln (\text{e})\right)}^2}{{\text{e}}^2}=\frac{{\left(2\times 1\right)}^2}{{\text{e}}^2}=\frac{4}{{\text{e}}^2}$.

Ainsi, $f(1)=0$ et $f(\text{e})=\frac{4}{{\text{e}}^2}$.

▶ 4. Justifier l'existence d'une solution d'une équation et l'encadrer

Le maximum de $f$ sur l'intervalle $[\text{1 ; +∞[}$ est $\frac{4}{{\text{e}}^2}\approx \mathrm{0,54}<mn>1</mn>$. Par suite, l'équation $f(x)=1$ n'admet pas de solution dans l'intervalle $[1;+\infty [$.

Sur l'intervalle $]0;1]$, la fonction $f$ est strictement décroissante. Comme la fonction $f$ y est continue (« flèche oblique » dans le tableau de variations) et $1\in [0;+\infty [$, alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans l'intervalle $]0;1]$.

L'équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution $\text{α}$ sur l'intervalle $]0;+\infty [.$

En utilisant la calculatrice, nous avons : $f\left(\mathrm{0,49}\right)\approx \mathrm{1,0385}>1$ et

Un encadrement de $\text{α}$ d'amplitude ${10}^{-2}$ est : .