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Une fonction sous toutes les coutures

Fonctions de référence

Une fonction sous toutes les coutures

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Étude d'une fonction définie avec une fonction logarithme népérien et existence d'une solution d'équation !

 

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f(x)=(ln(x))2x.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f et interpréter graphiquement le résultat.

2. a) Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ :

f(x)=4lnxx2.

b) En déduire que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de + ∞.

3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f′ sa fonction dérivée.

a) Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ :

f(x)=ln(x)(2ln(x))x2.

b) Étudier le signe de f′(x) selon les valeurs du nombre réel x strictement positif.

c) Calculer f(1) et f(e2).

On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.

matT_1711_11_00C_tab1

4. Démontrer que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur ]0 ; +∞[ et donner un encadrement de α d'amplitude 10–2.

Les clés du sujet

2. b) Déterminez la limite de la fonction f en + en utilisant l'expression de fx justifiée à la question 2. a).

3. b) Précisez le signe de ln(x) et étudiez celui de 2ln(x) sur l'intervalle 0 ; +.

Dressez ensuite un tableau de signes pour conclure sur le signe de f(x).

4. Justifiez que l'équation f(x)=1 n'admet aucune solution sur l'intervalle 1 ; +.

Appliquez ensuite le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle 0 ; 1 pour conclure.

1. Déterminer une limite et l'interpréter

Pour tout nombre réel x>0, nous avons f(x)=1x×ln(x)2.

Comme limx0x>0 ln(x)=, par produit, nous avons :

limx0x>0ln(x)2=+.

De plus, nous avons :

limx0x>01x=+.

Par conséquent, par produit, limx0x>0f(x)=+.

Ainsi, la droite d'équation x=0 est une asymptote à la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

matT_1711_11_00C_01

2. a) Établir une égalité

Pour tout nombre réel x appartenant à 0 ; +, nous avons :

rappel

Pour tout nombre réel a>0,ln(a2)=2ln(a) et a=a2.

f(x)=lnx22x2=lnx2x2=2lnxx2=4×lnxx2.

b) Déterminer une limite et l'interpréter

Comme limx+x=+ et limx+lnxx=0 (croissances comparées), nous avons alors :

limx+f(x)=limX+4×lnXX2=0.

Nous en déduisons que l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de +.

matT_1711_11_00C_02

3. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

La fonction f est le quotient de deux fonctions u:xln(x)2 et v:xx définies et dérivables sur l'intervalle 0 ; +. Comme la fonction v ne s'annule pas sur cet intervalle, la fonction f y est dérivable.

rappel

Si u est dérivable sur I, alors u2 est dérivable sur I et (u2)=2×u×u.

Comme u:x2×1x×ln(x) et v:x1 alors la fonction dérivée f est définie sur 0 ; + par :

f(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)v(x)2         =2×1x×ln(x)×xln(x)2×1x2         =2ln(x)ln(x)2x2         =ln(x)×(2ln(x))x2.

b) Étudier le signe d'une expression

Pour tout nombre réel x>0, nous avons :

rappel

ln(1)=0.

ln(x)00x1 et ln(x)=0x=1 (fonction de référence),

et :

rappel

Pour tous nombres réels a et b, abeaeb.

2ln(x)02ln(x)e2x et 2ln(x)=02=ln(x)e2=x.

Ainsi, nous avons :

matT_1711_11_00C_tab2

La fonction dérivée f s'annule en 1 et en e2, est strictement négative sur ]0 ; 1[ et sur ]e2;+[ et enfin est strictement positive sur ]1;e2[.

c) Déterminer des images par une fonction

Nous avons :

rappels

ln(1)=0 et ln(e)=1.

f1=ln(1)21=021=0 et fe2=ln(e2)2e2=2×ln(e)2e2=2×12e2=4e2.

Ainsi, f(1)=0 et f(e)=4e2.

4. Justifier l'existence d'une solution d'une équation et l'encadrer

Le maximum de f sur l'intervalle [1 ; +∞[ est 4e20,541. Par suite, l'équation f(x)=1 n'admet pas de solution dans l'intervalle [1;+[.

Sur l'intervalle ]0 ; 1], la fonction f est strictement décroissante. Comme la fonction f y est continue (« flèche oblique » dans le tableau de variations) et 1[0 ; +[, alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=1 admet une unique solution dans l'intervalle ]0 ; 1].

L'équation f(x)=1 admet donc une unique solution α sur l'intervalle ]0;+[.

En utilisant la calculatrice, nous avons : f0,491,0385>1 et f0,500,96091.

Un encadrement de α d'amplitude 102 est : 0,49α0,50.

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