Une histoire de cadenas

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique

 

32

 

Afrique • Juin 2015

Exercice 1 • 4 points

Une histoire de cadenas

Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième. Les parties A, B et C sont indépendantes.

Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont « premier prix », et les autres sont « haut de gamme ». Un magasin de bricolage dispose d’un stock de cadenas provenant de ce fournisseur ; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.

Partie A

1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n’y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme », et en trouve 19 qui sont défectueux.

Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3 % de cadenas défectueux ?

On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

2. Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas « premier prix ». Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas « premier prix », parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.

Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95 %.

Partie B

D’après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ = 750 et d’écart type σ = 25.

1. Calculer P(725 X  775).

2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre n de cadenas « premier prix » qu’il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d’être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. On ne réalimente pas le stock en cours de mois.

Déterminer la plus petite valeur de l’entier n remplissant cette condition.

Partie C

On admet maintenant que, dans le magasin :

80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix », les autres « haut de gamme » ;

3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux ;

7 % des cadenas sont défectueux.

On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :

p la probabilité qu’un cadenas « premier prix » soit défectueux ;

H l’événement : « le cadenas prélevé est “haut de gamme” » ;

D l’événement : « le cadenas prélevé est défectueux ».

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Exprimer en fonction de p la probabilité P(D). En déduire la valeur du réel p. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A 2. ?

3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas « haut de gamme ».

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Fluctuation et confiance • Loi normale • Arbre pondéré.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Intervalle de fluctuation  E43 Partie A, 1.

Intervalle de confiance  E44 Partie A, 2.

Loi normale  E40e Partie B, 1. et 2.

Arbre pondéré  E37 Partie C, 1. et 2.

Probabilité conditionnelle  E35 Partie C, 3.

Probabilité d’un événement  E34 Partie C.

Calculatrice

Probabilités avec la loi normale  C3 Partie B, 1. et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

2. Identifiez la taille de l’échantillon 3154708-Eqn14 et la fréquence 3154708-Eqn15 du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur 3154708-Eqn16 et 3154708-Eqn17 sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie B

2. Justifiez que la contrainte sur le nombre n de cadenas « premier prix » s’écrit à l’aide de la variable aléatoire 3154708-Eqn18 de la manière suivante : 3154708-Eqn19. Concluez à l’aide d’une calculatrice.

Corrigé

Corrigé

partie A

1. Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision

Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n’y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Pour ne pas être confronté à une mauvaise surprise, le responsable du magasin a tout intérêt à vérifier la validité de cette affirmation à partir de son stock en se basant sur la valeur haute. Autrement dit, supposons que la proportion 3154708-Eqn29 de cadenas défectueux dans la production est égale à 3 % 3154708-Eqn30. Afin de valider cette affirmation, le responsable a prélevé un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme » : la taille 3154708-Eqn31 de l’échantillon est donc 500. Comme 3154708-Eqn32, 3154708-Eqn33 et 3154708-Eqn34, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est défini et donné par :3154708-Eqn35.

Parmi les cadenas prélevés au hasard, 19 s’avèrent être défectueux : la fréquence observée 3154708-Eqn36 de cadenas défectueux dans l’échantillon est donc : 3154708-Eqn37 Comme la fréquence observée 3154708-Eqn38 appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le contrôle par le responsable du magasin ne remet pas en cause l’affirmation du fournisseur.

2. Déterminer un intervalle de confiance

500 cadenas « premier prix » ont été prélevés de manière aléatoire dans le stock du magasin. La taille de l’échantillon considéré est donc 3154708-Eqn39.

Parmi les 500 cadenas prélevés, 39 se révèlent être défectueux. La fréquence observée dans cet échantillon de cadenas défectueux est alors : 3154708-Eqn40.

Comme 3154708-Eqn41, 3154708-Eqn42 et 3154708-Eqn43, les conditions sur 3154708-Eqn44 et 3154708-Eqn45 sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :

3154708-Eqn46

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de cadenas « premier prix » défectueux dans la production se situerait entre 3,3 % et 12,3 %.

partie B

1. Calculer une probabilité avec la loi normale

Première méthode : « par propriété »

Notez bien

Si 3154708-Eqn47 suit la loi normale d’espérance 3154708-Eqn48 et d’écart type 3154708-Eqn49 alors :

3154708-Eqn50

Nous avons :

3154708-Eqn51

La probabilité qu’il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est environ de 0,683.

Deuxième méthode : « par calculatrice »

En prenant en compte le fait que 3154708-Eqn52 et 3154708-Eqn53, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_01_00C_04

matT_1506_01_00C_05

La probabilité qu’il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est environ de 0,683.

2. Déterminer une valeur sous contrainte

Le responsable du magasin sera confronté à une rupture de stock si le nombre de cadenas « premier prix » demandé par ses clients est supérieur au nombre 3154708-Eqn54 de cadenas « premier prix » en stock. L’événement « être en rupture de stock au cours d’un mois » s’écrit 3154708-Eqn55 où la variable aléatoire 3154708-Eqn56, pour rappel, associe à un mois donné le nombre de cadenas « premier prix » vendus. Comme la probabilité de cet événement doit être inférieure à 3154708-Eqn57 nous avons alors la contrainte suivante : 3154708-Eqn58

Première méthode : méthode par balayage

D’après l’étude statistique faite sur plusieurs mois, le responsable du magasin peut espérer vendre en moyenne 750 cadenas de ce type par mois. Le nombre minimal de cadenas à prévoir est alors naturellement supérieur à 750. Autrement dit, la valeur minimale de 3154708-Eqn59 est supérieure à 750. Nous avons alors :

3154708-Eqn60

À l’aide d’une calculatrice, méthode par balayage, nous obtenons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_01_00C_06

matT_1506_01_00C_07

La plus petite valeur de l’entier 3154708-Eqn61 remplissant cette condition est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir au minimum un stock de 792 cadenas « premier prix » au début de chaque mois.

Deuxième méthode

La contrainte 3154708-Eqn62 est équivalente à 3154708-Eqn63. Résolvons alors l’équation 3154708-Eqn643154708-Eqn65 suit la loi normale d’espérance 3154708-Eqn66 et d’écart type 3154708-Eqn67.

Notez bien

Syntaxe pour la TI 83 + :

FracNormale (3154708-Eqn68, 3154708-Eqn69, 3154708-Eqn70).

Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 :

InvNormCD (3154708-Eqn71, 3154708-Eqn72, 3154708-Eqn73).

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_01_00C_08

matT_1506_01_00C_09

La fonction qui à tout réel 3154708-Eqn74 associe la probabilité 3154708-Eqn75 étant croissante sur , la plus petite valeur de l’entier 3154708-Eqn76 remplissant la condition 3154708-Eqn77 est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir au minimum un stock de 792 cadenas « premier prix » au début de chaque mois.

partie C

1. Construire un arbre pondéré

Comme 80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix » et les autres sont « haut de gamme », les cadenas « haut de gamme » proposés à la vente représentent 20 %. Ainsi, la probabilité qu’un cadenas prélevé soit « haut de gamme » est 0,2, soit 3154708-Eqn78 et la probabilité qu’il soit « premier prix » est 0,8 soit 3154708-Eqn79.

3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux. Ainsi, la probabilité qu’un cadenas soit défectueux sachant qu’il est « haut de gamme » est de 0,03, soit 3154708-Eqn80.

En notant 3154708-Eqn81 la probabilité qu’un cadenas « premier prix » soit défectueux, et en prenant en compte que la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1, la situation peut se représenter à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

matT_1506_01_00C_10

2. Calculer une probabilité à partir d’un arbre pondéré

L’événement D est associé à deux feuilles : 3154708-Eqn82 et 3154708-Eqn83. Par suite, nous avons :

3154708-Eqn84

Or, d’après l’énoncé, 7 % des cadenas sont défectueux. Autrement dit, la probabilité qu’un cadenas prélevé soit défectueux est 0,07 soit 3154708-Eqn85. Par conséquent, 3154708-Eqn86 et 3154708-Eqn87. La probabilité qu’un cadenas « premier prix » soit défectueux est donc de 0,08.

D’après la question 2. de la partie A, la proportion de cadenas « premier prix » défectueux dans la production se situerait entre 3,3 % et 12,3 % (au niveau de confiance 0,95). Comme 8 % est dans cet intervalle, le résultat obtenu précédemment est cohérent avec celui de la question A 2.

3. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu’il est en bon état (non défectueux), soit 3154708-Eqn88 Nous avons :

3154708-Eqn89

La probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu’il est en bon état est environ 0,209.