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Afrique • Juin 2015
Exercice 1 • 4 points
Une histoire de cadenas
Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième. Les parties A, B et C sont indépendantes.
Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont « premier prix », et les autres sont « haut de gamme ». Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type.
Partie A
▶ 1. Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n'y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme », et en trouve 19 qui sont défectueux.
Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3 % de cadenas défectueux ?
On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
▶ 2. Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas « premier prix ». Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500 cadenas « premier prix », parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.
Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95 %.
Partie B
D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre X de cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne μ = 750 et d'écart type σ = 25.
▶ 1. Calculer P(725 ≤ X ≤ 775).
▶ 2. Le responsable du magasin veut connaître le nombre n de cadenas « premier prix » qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. On ne réalimente pas le stock en cours de mois.
Déterminer la plus petite valeur de l'entier n remplissant cette condition.
Partie C
On admet maintenant que, dans le magasin :
80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix », les autres « haut de gamme »
3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux
7 % des cadenas sont défectueux.
On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :
p la probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux
H l'événement : « le cadenas prélevé est “haut de gamme” »
D l'événement : « le cadenas prélevé est défectueux ».
▶ 1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
▶ 2. Exprimer en fonction de p la probabilité P(D). En déduire la valeur du réel p. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A 2. ?
▶ 3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas « haut de gamme ».
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Fluctuation et confiance • Loi normale • Arbre pondéré.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Intervalle de fluctuation E43 → Partie A, 1.
Intervalle de confiance E44 → Partie A, 2.
Loi normale E40e → Partie B, 1. et 2.
Arbre pondéré E37 → Partie C, 1. et 2.
Probabilité conditionnelle E35 → Partie C, 3.
Probabilité d'un événement E34 → Partie C.
Calculatrice
Probabilités avec la loi normale C3 → Partie B, 1. et 2.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 2. Identifiez la taille de l'échantillon 
et la fréquence 
du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur 
et 
sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant.
Partie B
▶ 2. Justifiez que la contrainte sur le nombre n de cadenas « premier prix » s'écrit à l'aide de la variable aléatoire 
de la manière suivante : 
. Concluez à l'aide d'une calculatrice.
Corrigé
partie A
▶ 1. Déterminer un intervalle de fluctuation et prendre une décision
Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas « haut de gamme », il n'y a pas plus de 3 % de cadenas défectueux dans sa production. Pour ne pas être confronté à une mauvaise surprise, le responsable du magasin a tout intérêt à vérifier la validité de cette affirmation à partir de son stock en se basant sur la valeur haute. Autrement dit, supposons que la proportion 
de cadenas défectueux dans la production est égale à 3 % 
. Afin de valider cette affirmation, le responsable a prélevé un échantillon aléatoire de 500 cadenas « haut de gamme » : la taille 
de l'échantillon est donc 500. Comme 
, 
et 
, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est défini et donné par :
.
Parmi les cadenas prélevés au hasard, 19 s'avèrent être défectueux : la fréquence observée 
de cadenas défectueux dans l'échantillon est donc : 
Comme la fréquence observée 
appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le contrôle par le responsable du magasin ne remet pas en cause l'affirmation du fournisseur.
▶ 2. Déterminer un intervalle de confiance
500 cadenas « premier prix » ont été prélevés de manière aléatoire dans le stock du magasin. La taille de l'échantillon considéré est donc 
.
Parmi les 500 cadenas prélevés, 39 se révèlent être défectueux. La fréquence observée dans cet échantillon de cadenas défectueux est alors : 
.
Comme 
, 
et 
, les conditions sur 
et 
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :
Au niveau de confiance 0,95, la proportion de cadenas « premier prix » défectueux dans la production se situerait entre 3,3 % et 12,3 %.
partie B
▶ 1. Calculer une probabilité avec la loi normale
Première méthode : « par propriété »
Notez bien
Si 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
alors :
Nous avons :
La probabilité qu'il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est environ de 0,683.
Deuxième méthode : « par calculatrice »
En prenant en compte le fait que 
et 
, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
La probabilité qu'il y ait entre 725 et 775 cadenas « premier prix » vendus par mois dans le magasin de bricolage est environ de 0,683.
▶ 2. Déterminer une valeur sous contrainte
Le responsable du magasin sera confronté à une rupture de stock si le nombre de cadenas « premier prix » demandé par ses clients est supérieur au nombre 
de cadenas « premier prix » en stock. L'événement « être en rupture de stock au cours d'un mois » s'écrit 
où la variable aléatoire 
, pour rappel, associe à un mois donné le nombre de cadenas « premier prix » vendus. Comme la probabilité de cet événement doit être inférieure à 
nous avons alors la contrainte suivante : 
Première méthode : méthode par balayage
D'après l'étude statistique faite sur plusieurs mois, le responsable du magasin peut espérer vendre en moyenne 750 cadenas de ce type par mois. Le nombre minimal de cadenas à prévoir est alors naturellement supérieur à 750. Autrement dit, la valeur minimale de 
est supérieure à 750. Nous avons alors :
À l'aide d'une calculatrice, méthode par balayage, nous obtenons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
La plus petite valeur de l'entier 
remplissant cette condition est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir au minimum un stock de 792 cadenas « premier prix » au début de chaque mois.
Deuxième méthode
La contrainte 
est équivalente à 
. Résolvons alors l'équation 
où 
suit la loi normale d'espérance 
et d'écart type 
.
Notez bien
Syntaxe pour la TI 83 + :
FracNormale (
, 
, 
).
Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 :
InvNormCD (
, 
, 
).
À l'aide de la calculatrice, nous avons :
| TI 83 Plus.fr | CASIO GRAPH 75 |
|
|
|
La fonction qui à tout réel 
associe la probabilité 
étant croissante sur ℝ, la plus petite valeur de l'entier 
remplissant la condition 
est 792. Le responsable du magasin doit donc prévoir au minimum un stock de 792 cadenas « premier prix » au début de chaque mois.
partie C
▶ 1. Construire un arbre pondéré
Comme 80 % des cadenas proposés à la vente sont « premier prix » et les autres sont « haut de gamme », les cadenas « haut de gamme » proposés à la vente représentent 20 %. Ainsi, la probabilité qu'un cadenas prélevé soit « haut de gamme » est 0,2, soit 
et la probabilité qu'il soit « premier prix » est 0,8 soit 
.
3 % des cadenas « haut de gamme » sont défectueux. Ainsi, la probabilité qu'un cadenas soit défectueux sachant qu'il est « haut de gamme » est de 0,03, soit 
.
En notant 
la probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux, et en prenant en compte que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1, la situation peut se représenter à l'aide de l'arbre pondéré suivant :
▶ 2. Calculer une probabilité à partir d'un arbre pondéré
L'événement D est associé à deux feuilles : 
et 
. Par suite, nous avons :
Or, d'après l'énoncé, 7 % des cadenas sont défectueux. Autrement dit, la probabilité qu'un cadenas prélevé soit défectueux est 0,07 soit 
. Par conséquent, 
et 
. La probabilité qu'un cadenas « premier prix » soit défectueux est donc de 0,08.
D'après la question 2. de la partie A, la proportion de cadenas « premier prix » défectueux dans la production se situerait entre 3,3 % et 12,3 % (au niveau de confiance 0,95). Comme 8 % est dans cet intervalle, le résultat obtenu précédemment est cohérent avec celui de la question A 2.
▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu'il est en bon état (non défectueux), soit 
Nous avons :
La probabilité que le cadenas prélevé soit « haut de gamme » sachant qu'il est en bon état est environ 0,209.