Une homothétie

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Écrire et exécuter un programme simple
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Algorithmique

Exercice • 7 points

Une homothétie

Voici le programme écrit à l’aide du logiciel Scratch par Grégory :

Mat3_1600_00_35C_01

Grégory obtient la figure suivante :

mat3_1600_00_35C_02

Les points O, A et B ont été ajoutés sur la figure.

1. En observant la première colonne d’instructions, calculer le rapport 467539-Eqn1.

En déduire le rapport de l’homothétie de centre O qui transforme le triangle de sommet A en triangle de sommet B.

2. Observer le bloc « triangle1 » et démontrer que le triangle 1 est un triangle rectangle. En déduire la nature du triangle 2.

3. Comparer les longueurs des côtés des triangle 1 et triangle 2.

Que retrouve-t-on ?

Les clés du sujet

Points du programme

Lecture d’un algorithme informatique.

Nos coups de pouce

1. Observe que l’on avance de 100. On peut en déduire la longueur OA. On avance ensuite de 200, on peut donc en déduire la longueur AB. Conclus.

2. Applique la réciproque du théorème de Pythagore au triangle 1. On sait qu’une homothétie transforme un triangle en un triangle de même nature.

3. On sait qu’une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k. Conclus.

Corrigé

Corrigé

1. En partant de O(–200 ; 50), on avance d’abord de 100. On obtient OA = 100.

On part maintenant de A et on avance de 200. On obtient AB = 200.

Les points O, A et B sont alignés. On obtient OB = OA + AB, soit OB = 300.

Rappel

Souviens-toi que si trois points O, A et B sont alignés dans cet ordre, alors OB = OA + AB.

On en déduit que 467539-Eqn2.

Donc le rapport de l’homothétie de centre O qui transforme le triangle de sommet A en triangle de sommet B est 3.

2. Les longueurs des côtés du triangle 1 sont 30, 40 et 50.

On a 502 = 2 500 et 302 + 402 = 900 + 1 600 = 2 500. Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle et son hypoténuse mesure 50.

On sait qu’une homothétie transforme un triangle en un triangle de même nature, donc le triangle 2 est un triangle rectangle.

3. Les longueurs des côtés du triangle 2 sont 90, 120, 150. On a bien 90 = 3 × 30 ; 120 = 3 × 40 et 150 = 3 × 50.

Les longueurs des côtés du triangle 2 sont bien le produit des longueurs du triangle 1 par le rapport 3 de l’homothétie.