Partie A

▶ 1. Déterminer les valeurs prises par une variable aléatoire

On effectue, pour commencer, une analyse portant sur le mélange des sangs des n individus de l’échantillon.

Si le résultat de ce test est négatif, il n’y a pas d’autre analyse, X_n prend alors la valeur 1.

Si le résultat est positif, comme le décrit l’énoncé, on effectue une analyse individuelle de chaque personne, on effectue donc au total n + 1 analyses, X_n prend la valeur n + 1.

Ces deux cas étant les seuls possibles, on en déduit que $X_n$ prend les valeurs 1 et $\left(n+1\right)$.

▶ 2. Déterminer la loi d’une variable aléatoire

L’événement {X_n = 1} est l’événement « on effectue une seule analyse », c’est-à-dire « les n individus de l’échantillon sont tous négatifs ».

Or la probabilité qu’un individu choisi au hasard soit atteint de la maladie est 0,05, donc la probabilité qu’il ait un test négatif est égale à 0,95.

On considère que le choix des n personnes de l’échantillon peut être assimilé à un tirage avec remise, donc la probabilité que ces n personnes aient toutes un test négatif, c’est-à-dire la probabilité qu’aucune ne soit atteinte par la maladie, est égale à ${\mathrm{0,95}}^n$.

Autrement dit : $\boxed{P(X_n=1)={\mathrm{0,95}}^n}$.

Puisque X_n ne prend comme valeurs que 1 et n + 1, on en déduit que :

$P(X_n=n+1)=1-{\mathrm{0,95}}^n$.

D’où le tableau résumant la loi de X_n :

▶ 3. Interpréter et calculer l’espérance d’une variable aléatoire

L’espérance E(X_n) de la variable aléatoire X_n représente, dans le cadre de l’expérience, le nombre moyen d’analyses à effectuer par échantillon de n personnes.

$E(X_n)={\mathrm{0,95}}^n+(n+1)(1-{\mathrm{0,95}}^n)$

$E(X_n)={\mathrm{0,95}}^n+n+1-(n+1)\text{0}{\mathrm{,95}}^n$

$\boxed{E(X_n)=n+1-n\times {\mathrm{0,95}}^n}$

Partie B

▶ 1. Étudier les variations d’une fonction

La fonction f est dérivable sur l’intervalle [20 ; + ∞[. Pour tout x dans cet intervalle :

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\text{ln}(\text{0,95})$

$f^{\prime }(x)=\frac{1+x\text{ln}(\text{0,95})}{x}$.

Pour tout x dans [20 ; + ∞[, x > 0 donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de 1 + x ln(0,95).

Pour tout x dans [20 ; + ∞[ :

x ≥ 20, donc $x\ln (\mathrm{0,95})\le \text{20 ln}(\mathrm{0,95})$ et $1+x\ln (\mathrm{0,95})\le 1+\text{20 ln}(\mathrm{0,95})$.

En arrondissant au millième, $1+20\text{ln}(\mathrm{0,95})\approx -\mathrm{0,026}<0,$ donc pour tout x dans [20 ; + ∞[, $1+x\ln (\mathrm{0,95})<0$, soit $f^{\prime }(x)<0$.

On en déduit que f est strictement décroissante sur $[\text{20 }; +\infty [$.

▶ 2. Déterminer la limite en + ∞ d’une fonction

On a $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+x\text{ln}\left(\mathrm{0,95}\right)$ et :

$\underset{x\to +\text{∞}}{\text{lim}}\ln (x)=+\text{∞ et }\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }x\ln (\mathrm{0,95})=-\text{∞}$

car $\ln (\mathrm{0,95})<0$. Donc pour la somme, on est dans un cas d’indétermination.

Pour tout x dans [20 ; + ∞[ :

$f(x)=x\left(\frac{\ln (x)}{x}+\text{ln}(\mathrm{0,95})\right)$.

Or $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\frac{\text{ln}(x)}{x}=0$ donc $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\left(\frac{\ln (x)}{x}+\ln (\mathrm{0,95})\right)=\ln (\mathrm{0,95})<0$.

Par produit, $\boxed{\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }f(x)=-\text{∞}}$.

▶ 3. Montrer qu’une équation admet une unique solution sur un intervalle donné

Sur l’intervalle [20 ; + ∞[, f est continue et strictement décroissante.

$f(20)=\ln (20)+20\ln (\text{0,95})\approx \mathrm{1,97}$

en arrondissant au centième.

$f(20)>0$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }f(x)=-\text{∞}$, donc 0 ∈ ]- ∞ ; f(20)].

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\text{α}$ sur $[\text{20 }; +\infty [$.

D’après la calculatrice, en arrondissant à ${10}^{-4}$ :

$f(87)\approx \mathrm{0,0034}>0$ et $f(88)\approx -\mathrm{0,0365}<0$, donc $f(88)<f(\text{α})<f(87)$, donc 87 < α < 88.

$f(\mathrm{87,1})\approx -\mathrm{0,0006}$, donc $f(\mathrm{87,1})<f(\text{α})<f(87)$, on en déduit :

$\boxed{87<\text{α}<\mathrm{87,1}}$

▶ 4. Déterminer le signe d’une fonction sur un intervalle

D’après les questions précédentes :

$f(x)>0$ si x ∈[20 ; α[ ;

$f(\text{α})=0$ ;

$f(x)<0$ si x ∈ ]α ; + ∞[.

Partie C

Comparer deux types de dépistage

La première méthode permet de diminuer le nombre moyen d’analyses à effectuer dès que $E(X_n)<n$, car avec cette méthode le nombre d’analyses par échantillon est X_n et par la méthode « classique » ce nombre est égal à n (les n individus sont testés un à un).

$E(X_n)<n\iff n+1-n\times {\mathrm{0,95}}^n<n$

$E(X_n)<n\iff \text{1}-n\times {\mathrm{0,95}}^n<0$

$E(X_n)<n\iff n\times {\mathrm{0,95}}^n>1$.

On applique à chacun des deux membres de l’inégalité la fonction ln. Cette fonction est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ donc le sens de l’inégalité ne change pas.

$E(X_n)<n\iff \ln (n)+n\text{ln}(\mathrm{0,95})>0$

$E(X_n)<n\iff f(n)>0$.

D’après la partie B, $f(x)>0\iff x<\text{α}$.

Or 87 < α < 87,1 et n est entier, donc :

$E(X_n)<n \iff n\le \text{87 }$.

La première méthode diminue le nombre moyen d’analyses à effectuer pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.