Partie 1. Une pause à la piscine

▶ 1. a) Calculer un débit volumique

Le débit sanguin D en L· min^–1 est D = $\frac{V}{t}$ avec V le volume en litres de sang envoyé dans l’aorte et t la durée de l’écoulement en minutes.

D’après l’énoncé, t = $\frac{1}{60}$ min = 1,67 × 10^–2 min, d’où :

D = $\frac{80\times {10}^{-3}}{\mathrm{1,67}\times {10}^{-2}}$ = 4,79 L · min^–1.

b) Calculer une vitesse d’écoulement

On veut calculer la vitesse d’éjection v du sang dans l’aorte, or on sait que D_v = v × S_aorte. On a donc :

v = $\frac{D_{\text{V}}}{S_{\text{aorte}}}$ = $\frac{\mathrm{1,6}\times {10}^{-4}}{\mathrm{2,8}\times {10}^{-4}}$ = 5,7 × 10^–1 m · s^–1.

▶ 2. a) Connaître la loi fondamentale de la statique des fluides

La loi fondamentale de la statique des fluides est :

Entre deux points A et B d’un fluide, on a :

ΔP = P_B – P_A = ρ × g × h où ρ est la masse volumique du fluide en kg· m^–3, g l’intensité de pesanteur en N· kg^–1 et h la différence de hauteur entre les points A et B, B étant au-dessous de A.

b) Exploiter la loi fondamentale de la statique des fluides

On calcule la différence de pression entre A et B pour h = 2,0 m en utilisant la loi fondamentale de la statique des fluides :

ΔP = P_B – P_A = ρ × g × h = 1 000 × 9,81 × 2,0 = 2,0 × 10⁴ Pa.

c) Calculer la valeur d’une force pressante

On sait que la force pressante exercée par l’eau sur le tympan est : F_{pressante en B} = P_B × S_tympan.

On calcule d’abord la pression en B.

D’après la loi fondamentale de la statique des fluides, on a

ΔP = P_B - P_A d’où P_B = ΔP + P_A. $\mathrm{2,0}\times {10}^4+1013\times {10}^2=\mathrm{1,2}\times {10}^5$ Pa donc : F_pressante en B = P_B × S_tympan = 1,2 × 10⁵ × 6,0 × 10^–5 = 7,2 N.

Partie 2 Hospitalisation

▶ 1. Exploiter la formule de la loi fondamentale de la statique des fluides

On calcule la différence de hauteur entre deux points d’un fluide au repos. D’après la loi fondamentale de la statique des fluides : ΔP = ρ_perfusion × g × h_min.

La différence de pression est proportionnelle à la hauteur h, donc h = h_min pour ΔP = 8,0 × 10³ Pa :

h_min = $\frac{∆P}{{\text{ρ}}_{\text{perfusion}}\times g}=\frac{\mathrm{8,0}\times {10}^3}{1000\times \mathrm{9,81}}$ = 8,2 × 10^–1 m.

Le cathéter doit se trouver au moins à h_min = 82 cm en dessous de la surface libre de la solution à perfuser.

▶ 2. a) Connaître l’expression du débit massique

Le débit massique en kg · s^–1 est $D_{\text{m}}=\frac{m}{t}$ avec m la masse de fluide écoulé en kg et t la durée de l’écoulement en seconde (s).

b) Calculer la durée d’un écoulement

On veut calculer la durée nécessaire pour vider la poche. Or on sait que $D_{\text{m}}=\frac{m_{\text{perfusion}}}{t}$, d’où : $t=\frac{m_{\text{perfusion}}}{D_{\text{m}}}$.

On calcule la masse m_perfusion de 100 mL de solution à perfuser :

m_perfusion = ρ_perfusion × V avec V = 100 mL soit 100 × 10^–6 m³.

Ainsi, m_perfusion = 1 000 × 100 × 10^–6 = 1,00 × 10^–1 kg.

Finalement, $t=\frac{\mathrm{1,00}\times {10}^{-1}}{\mathrm{1,4}\times {10}^{-5}}$ = 7,1 × 10³ s, soit 1,97 h : il faudra 7 100 s soit presque 2 heures pour vider la poche de la perfusion avec le débit annoncé.

c) Calcul de la section d’un tuyau

On sait qu’en un point d’un tuyau, on a : D_v = v × S.

D’où, ici : S_perfusion = $\frac{D_{\text{V}}}{v}$ = $\frac{\frac{D_{\text{m}}}{{\text{ρ}}_{\text{perfusion}}}}{v}=\frac{\frac{\mathrm{1,4}\times {10}^{-5}}{1000}}{\mathrm{1,0}\times {10}^{-2}}$ = 1,4 × 10^–6 m².

La section du tuyau de la perfusion est donc :

S_perfusion = 1,4 × 10^–6 m² = 1,4 mm².

▶ 3. a) Exprimer une vitesse à partir de la relation de Bernoulli

D’après la relation de Bernoulli entre A et B, on a :

$\begin{array}{l}{P}_1+\frac{1}{2}{\text{ρ}}_{\text{sang}}{v}_1{}^2+{\text{ρ}}_{\text{sang}}\times g\times z_{\text{A}}\\ =P_2+\frac{1}{2}{\text{ρ}}_{\text{sang}}{v}_2{}^2+{\text{ρ}}_{\text{sang}}\times g\times z_{\text{B}}\end{array}$

d’où $v_2=\sqrt[]{\frac{2(P_1-P_2)}{{\text{ρ}}_{\text{sang}}}+v_1{}^2+2\times g\times (z_{\text{A}}-z_{\text{B}})}$.

D’après le schéma, z_A = z_B donc $v_2=\sqrt[]{\frac{2(P_1-P)}{{\text{ρ}}_{\text{sang}}}+v_1{}^2}$.

Avec v₁ = 30 cm· s^–1 = 30 × 10^–2 m· s^–1 et P₂ = 101 325 Pa, on obtient pour la vitesse en B :

$v_2=\sqrt[]{\frac{2\times (114657-101325)}{1050}+{(30\times {10}^{-2})}^2}$ = 5,0 m · s^–1.

b) Calculer la surface et le diamètre d’une section

On calcule la surface de la section S₂ en B.

D’après le principe de continuité, on a S₁ × v₁ = S₂ × v₂ d’où :

$S_2=\frac{S_1\times v_1}{v_2}=\frac{\frac{\text{π}\times d_1{}^2}{4}\times v_1}{v_2}=\frac{\frac{\text{π}\times {(18\times {10}^{-3})}^2}{4}\times 30\times {10}^{-2}}{\mathrm{5,0}}$

= 1,5 × 10^–5 m².

Puis, sachant que S₂ = $\frac{\text{π}\times d_2{}^2}{4}$, on peut calculer le diamètre :

d₂ = $\sqrt[]{\frac{4\times S_2}{\text{π}}}=\sqrt[]{\frac{4\times \mathrm{1,5}\times {10}^{-5}}{\text{π}}}$ = 4,4 × 10^–3 m.

La partie rétrécie a une section S₂ = 1,5 × 10^–5 m² pour un diamètre d₂ = 4,4 × 10^–3 m.

Partie 3. Hivernage de la piscine

▶ 1. a) Établir l’expression d’une vitesse à partir de la relation de Bernoulli

D’après la relation de Bernoulli entre A et B, on a :

$\begin{array}{l}{P}_{\text{A}}+\frac{1}{2}\times \text{ρ}\times v_{\text{A}}{}^2+\text{ρ}\times g\times z_{\text{A}}\\ =P_{\text{B}}+\frac{1}{2}\times \text{ρ}\times v_{\text{B}}{}^2+\text{ρ}\times g\times z_{\text{B}}.\end{array}$

Ici :

Les points A et B sont tous les deux au contact de l’air, donc à la pression atmosphérique et on a P_A = P_B = P₀.

La surface de l’eau en A est très supérieure à la section du tuyau en B (S_A >> S_B), donc, d’après le principe de continuité, la vitesse en A est négligeable devant la vitesse en B.

On en déduit que $\text{ρ}\times g\times z_{\text{A}}=\frac{1}{2}\times \text{ρ}\times v_{\text{B}}{}^2+\text{ρ}\times g\times z_{\text{B}}$

d’où $v_{\text{B}}{}^2=2\times g\times (z_{\text{A}}-z_{\text{B}})$ donc : $v_{\text{B}}=\sqrt[]{2\times g\times (z_{\text{A}}-z_{\text{B}})}$.

D’après l’énoncé, A se trouve 3 m plus haut que le fond de la piscine et la piscine est sur un talus de 50 cm. On a donc : z_A – z_B = 3,5 m.

Ainsi, v_B = $\sqrt[]{2\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{3,5}}$ = 8,3 m· s^–1.

L’eau s’écoule à v_B = 8,3 m · s^–1 en B.

b) Expliquer un phénomène

L’eau de la piscine s’écoulera dans le tuyau tant que la vitesse d’écoulement sera non nulle. Pour cela, il faut réunir deux conditions : il doit y avoir de l’eau dans la piscine (sans eau, pas d’écoulement donc v_B = 0 m· s^–1) et il faut que z_A - z_B > 0 (car $v_{\text{B}}=\sqrt[]{2\times g\times (z_{\text{A}}-z_{\text{B}})}$) donc A (surface de l’eau) au-dessus de B.

▶ 2. a) Calculer un débit volumique

Sachant que la surface de la section du tuyau est :

$S_{\text{B}}=\text{π}\times {\left(\frac{d_{\text{B}}}{2}\right)}^2=\mathrm{3,14}\times {\left(\frac{\mathrm{2,0}\times {10}^{-2}}{2}\right)}^2$ = 3,1 × 10^–4 m²

On calcule le débit volumique :

D_V = S_B × v_B = 3,1 × 10^–4 × 8,3 = 2,6 × 10^–3 m³ · s^–1.

▶ 2. b) Raisonner sur une formule

Au cours de la vidange, $(z_{\text{A}}-z_{\text{B}})$ diminue, donc la vitesse v_B diminue ce qui implique que le débit volumique diminue.