Utilisation d’un arbre pondéré. Loi binomiale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Utilisation d&rsquo un arbre pondéré. Loi binomiale
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Probabilités conditionnelles

Corrigé

29

Ens. spécifique

matT_1306_07_10C

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France métropolitaine &bull Juin 2013

Exercice 1 &bull 4 points

Une jardinerie vend de jeunes plants d&rsquo arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l&rsquo horticulteur H1, 25 % de l&rsquo horticulteur H2 et le reste de l&rsquo horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux catégories d&rsquo arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l&rsquo horticulteur H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l&rsquo horticulteur H2 n&rsquo en comporte que 50 % et celle de l&rsquo horticulteur H3 seulement 30 %.

&gt 1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :

H1 : &laquo  l&rsquo arbre choisi a été acheté chez l&rsquo horticulteur H1 &raquo  

H2 : &laquo  l&rsquo arbre choisi a été acheté chez l&rsquo horticulteur H2 &raquo  

H3 : &laquo  l&rsquo arbre choisi a été acheté chez l&rsquo horticulteur H3 &raquo  

C : &laquo  l&rsquo arbre choisi est un conifère &raquo  

F : &laquo  l&rsquo arbre choisi est un arbre feuillu &raquo .

a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

b) Calculer la probabilité que l&rsquo arbre choisi soit un conifère acheté chez l&rsquo horticulteur H3.

c) Justifier que la probabilité de l&rsquo événement C est égale à 0,525.

d) L&rsquo arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu&rsquo il ait été acheté chez l&rsquo horticulteur H1 ? On arrondira à 10&minus 3.

&gt 2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l&rsquo échantillon choisi.

a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b) Quelle est la probabilité que l&rsquo échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10&minus 3.

c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10&minus 3.

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré &bull Loi binomiale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d&rsquo ouvrage.

  • Probabilité et arbre pondéré  E37  &rarr 1. a), 1. b) et 1. c)
  • Probabilité conditionnelle  E35  &rarr 1. d)
  • Probabilité et loi binomiale  E39  &rarr 2. a), 2. b) et 2. c)

Nos coups de pouce

&gt 1. a) Commencez l&rsquo arbre par les événements H1, H2 et H3. Relisez attentivement l&rsquo énoncé afin de pondérer l&rsquo arbre.

&gt 2. a) Identifiez l&rsquo épreuve de Bernoulli sous-jacente, l&rsquo événement appelé &laquo  succès &raquo ainsi que sa probabilité notée p. Précisez le nombre de répétitions, noté n, de cette épreuve. Concluez.