Utilisation d’un arbre pondéré. Loi binomiale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utilisation d’un arbre pondéré. Loi binomiale
 
 

Probabilités conditionnelles

Corrigé

29

Ens. spécifique

matT_1306_07_10C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 1 • 4 points

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles. La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur H3 seulement 30 %.

>1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. On envisage les événements suivants :

H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 » ;

H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 » ;

H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 » ;

C : « l’arbre choisi est un conifère » ;

F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».

a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

b) Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3.

c) Justifier que la probabilité de l’événement C est égale à 0,525.

d) L’arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 ? On arrondira à 10−3.

>2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3.

c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10−3.

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi binomiale.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Probabilité et arbre pondéré  E37 1. a), 1. b) et 1. c)
  • Probabilité conditionnelle  E35 1. d)
  • Probabilité et loi binomiale  E39 2. a), 2. b) et 2. c)

Nos coups de pouce

>1. a) Commencez l’arbre par les événements H1, H2 et H3. Relisez attentivement l’énoncé afin de pondérer l’arbre.

>2. a) Identifiez l’épreuve de Bernoulli sous-jacente, l’événement appelé « succès » ainsi que sa probabilité notée p. Précisez le nombre de répétitions, noté n, de cette épreuve. Concluez.

Corrigé

>1.a) Construire un arbre pondéré

35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1 donc P(H1) = 0,35.

25 % des plants proviennent de l’horticulteur H2 donc P(H2) = 0,25.

Le reste provient de l’horticulteur H3 donc 100 – 35 – 25 = 40 et P(H3) = 0,40.

La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conifères donc

(C) = 0,80.

Celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50 % donc

(C) = 0,50.

Celle de l’horticulteur H3 seulement 30 % donc (C) = 0,30.

Comme la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1, nous en déduisons que :

(F) = 1 -(C) = 1 - 0,80 = 0,20

(F) = 1 -(C) = 1 - 0,50 = 0,50

(F) = 1 -(C) = 1 - 0,30 = 0,70.

Ce qui se résume par l’arbre pondéré suivant :


 

b) Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré

La probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3 est la probabilité de l’événement H3 ∩ C. À l’aide de l’arbre pondéré, nous avons :

P(H3 ∩ C) =P(H3) × (C) = 0,40 × 0,30 = 0,12.

c) Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré

En suivant les chemins H1 ∩ C, H2 ∩ C et H3 ∩ C sur l’arbre pondéré (formule des probabilités totales), nous avons :

d) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 sachant que l’arbre choisi est un conifère est la probabilité conditionnelle PC(H1) :

PC(H1) = (arrondi au millième).

>2.a) Justifier les paramètres d’une loi

L’expérience aléatoire consiste à choisir un arbre au hasard dans le stock de la jardinerie et à constater si cet arbre est un conifère ou non. Il s’agit donc d’une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’événement C de probabilité

Cette épreuve de Bernoulli est répétée de manière identique 10 fois (échantillon de 10 arbres). Comme le stock est suffisamment important pour qu’un tel choix de 10 arbres puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres, nous pouvons considérer que ces 10 épreuves sont indépendantes.

La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n= 10 et p= 0,525.

b) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

 

Info

TI 83+ : binomFdp(n, p, k) renvoie une valeur approchée de .
Casio Graph 35+ : BinominalPD(k, n, p) renvoie une valeur approchée de .

La probabilité pour que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur 5 :

(arrondi au millième).

c) Calculer une probabilité avec une loi binomiale

 

Info

TI 83+ : binomFRép(n, p, k) renvoie une valeur approchée de .

Casio Graph 35+ : BinominalCD(k, n, p) renvoie une valeur approchée de .

Les événements « comporter au moins deux arbres feuillus » et « comporter au plus huit conifères » sont identiques. La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est donc la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs inférieures ou égale à 8 : .

Avec la calculatrice, nous avons :

(arrondi au millième).