Partie A : Analyse théorique

▶ 1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

On a $f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{x+1}-1.$f est dérivable sur $\left[0;1\right]$ comme somme de quotients de fonctions dérivables sur $\left[0;1\right]$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{{(x+1)}^2 }=\frac{3{(x+1)}^2-2}{2{(x+1)}^2}=\frac{3(x^2+2x+1)-2}{2{(x+1)}^2}=\frac{3x^2+6x+1}{2{(x+1)}^2}.$

Comme $2{(x+1)}^2\ge 0$ pour tout x de [0 ; 1], $f^{\prime }(x)$ est du signe de $3x^2+6x+1$.

Étudions le signe de $3x^2+6x+1$ : le discriminant $\text{Δ}$ de ce polynôme est $\text{Δ}=6^2-4\times 3\times 1=24$. Ses deux racines sont donc :

$x_1=\frac{-6-\sqrt{24}}{6}\approx -\mathrm{1,81}$ et $x_2=\frac{-6+\sqrt{24}}{6}\approx -\mathrm{0,18}$.

Ainsi, sur $\left[0;1\right]$, $3x^2+6x+1$ est toujours positif. La fonction f est donc strictement croissante sur $\left[0;1\right].$

b) Déterminer le signe d'une expression

$\text{On a}:x-f(x)=$ x $-\left(\frac{3}{2}x+\frac{1}{x+1}-1\right)=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x+1}+1$

$=\frac{-x(x+1)-2+2(x+1)}{2(x+1)}=\frac{-x^2+x}{2(x+1)}=\frac{x(-x+1)}{2(x+1)}$

Sur $\left[0;1\right], x\ge 0 \text{et}-x+1\ge 0$, donc $x-f(x)\ge 0$.

Ainsi $x\ge f(x)$ pour tout x de $\left[0;1\right]$.

c) Conclure sur la nature d'une courbe

La courbe représentant f est une courbe de Lorenz si toutes les conditions du préambule sont vérifiées.

Il reste à vérifier que f est convexe sur $\left[0;1\right].$ Pour cela, on détermine la dérivée seconde de f et on étudie son signe.

$\begin{array}{l}{f}^{″}(x)=\frac{(6x+6)\left[2{(x+1)}^2\right]-(3x^2+6x+1)(4x+4)}{{\left[2{(x+1)}^2\right]}^2}\\ =\frac{2(x+1)\left[(6x+6)(x+1)-2(3x^2+6x+1)\right]}{4{(x+1)}^4}\\ =\frac{6x^2+12x+6-6x^2-12x-2}{2{(x+1)}^3}\\ =\frac{4}{2{(x+1)}^3}.\end{array}$

Sur $\left[0;1\right]$, $f^{″}(x)$ est positive, f est donc convexe.

D'après les questions précédentes :

f est définie sur $\left[0;1\right] ;$

f est croissante sur $\left[0;1\right]$ ;

$f(0)=0$ et $f(1)=1$ (tableau de variations) ;

pour tout x de $\left[0;1\right], f(x)\le x$ ;

f est convexe sur $\left[0;1\right].$

On peut donc dire que la représentation graphique de f est une courbe de Lorenz.

▶ 2. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

g est une fonction dérivable sur $\left[0;1\right]$ car la fonction exponentielle et les fonctions affines sont dérivables sur cet intervalle.

On a $g^{\prime }(x)={\text{e}}^x-(\text{e}-2)$.

Étudions le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $\left[0;1\right].$

$\begin{array}{c}{g}^{\prime }(x)\ge 0\iff {\text{e}}^x\ge \text{e}-2\\ \iff x\ge \text{ln}(\text{e}-2)\end{array}$

Or $\text{e}-2<mn>1</mn>$ donc ainsi sur $\left[0;1\right], g$ est toujours croissante.

b) Calculer $g(0)$ et $g(1)$

$g\left(0\right)=$${\text{e}}^0-(\text{e}-2)\times 0-1=0$ et $g\left(1\right)={\text{e}}^1-(\text{e}-2)-1=1$.

c) Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle

$g^{\prime }$ est dérivable sur $\left[0;1\right].$

On a $g^{″}(x)={\text{e}}^x$.

Pour tout x de $\left[0;1\right], g^{″}(x)\ge 0$, g est donc convexe sur $\left[0;1\right]$.

▶ 3. a) Donner le tableau de variations d'une fonction sur un intervalle

On a $h(\ln (\text{e}-1))\approx \mathrm{0,21}$. Le tableau de variations de h sur $\left[0;1\right]$ est :

b) Étudier le signe d'une fonction

D'après le tableau de variations de h, on constate que, pour tout x de [0 ; 1], $h(x)\ge 0$ puisque $h(0)=h(1)=0$.

Ainsi, $x-g(x)\ge 0$ et donc $g(x)\le x$.

c) Conclure sur la nature de la courbe de g

D'après les questions précédentes :

g est définie sur $\left[0;1\right]$ ;

g est croissante sur $\left[0;1\right]$ ;

$g(0)=0$ et $g(1)=1$ ;

pour tout x de $\left[0;1\right],g(x)\le x$ ;

g est convexe sur $\left[0;1\right].$

On peut donc dire que la représentation graphique de g est une courbe de Lorenz.

Partie B : Application

▶ 1. Interpréter un résultat

$g(\mathrm{0,5})={\text{e}}^{\mathrm{0,5}}-(\text{e}-1)\mathrm{0,5}-1={\text{e}}^{\mathrm{0,5}}-\mathrm{0,5}\text{e}\approx \mathrm{0,29}.$

On peut dire que 50 % des exploitations les plus petites représentent au total 29 % de la superficie des exploitations du pays G.

▶ 2. a) Exprimer une aire à l'aide d'une intégrale

$\begin{array}{l}\text{On a }S={\int }_0^1(x-g(x\left)\right)\text{d}x={\int }_0^1(-{\text{e}}^x+(\text{e}-1)x+1)\text{d}x\\ ={\left[-{\text{e}}^x+(\text{e}-1)\frac{x^2}{2}+x\right]}_0^1\\ =\left(-{\text{e}}^1+(\text{e}-1)\frac{1}{2}+1\right)-\left(-{\text{e}}^0+(\text{e}-1)\times \frac{0}{2}+0\right)\\ =-\text{e}+\frac{1}{2}(\text{e}-1)+1+1\\ =-\frac{1}{2}\text{e}+\frac{3}{2}.\end{array}$

b) Donner le coefficient de Gini ${\text{γ}}_{\text{G}}$

$S\approx \mathrm{0,14}$. Le coefficient de Gini pour le pays G est donc ${\text{γ}}_{\text{G}}=2S\approx 2\times \mathrm{0,14}\approx \mathrm{0,28}$.

▶ 3. Déterminer le coefficient de Gini ${\text{γ}}_{\text{F}}$ 

$\begin{array}{l}\text{On a }S={\displaystyle {\int }_0^1(x-f(x))\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^1\left(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{x+1}+1\right)\text{d}x}\\ ={\left[-\frac{1}{2}\frac{x^2}{2}-\ln (x+1)+x\right]}_0^1=-\frac{1}{4}-\ln 2+1\\ =\frac{3}{4}-\text{ln}2\approx \mathrm{0,06}.\end{array}$

On en déduit que ${\text{γ}}_{\text{F}}=2S \approx \mathrm{0,12}$.

▶ 4. a) Comparer la répartition dans deux pays

Le coefficient de Gini du pays F est inférieur à celui du pays G, la répartition des exploitations est donc plus égalitaire dans le pays F.

b) Interpréter le résultat à l'aide du graphique 

Il aurait été possible de voir cette conclusion sur le graphique car l'aire située entre la droite d'équation $y=x$ et la courbe $\mathcal{C}$ est plus petite que l'aire située entre la droite d'équation $y=x$ et la courbe $\text{Γ}$.