Annale corrigée Exercice

Utilisation d'une courbe de Lorenz

Compléments sur les fonctions

Utilisation d'une courbe de Lorenz

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Ce sujet montre l'utilité de certaines fonctions mathématiques pour mesurer des inégalités au sein d'un pays. Ici, en particulier, il s'agit d'étudier la répartition des exploitations agricoles.

 

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d'une fonction L vérifiant les conditions suivantes :

• L est définie sur [0 ; 1] ;

• L est croissante et convexe sur [0 ; 1] ;

• L(0)=0 et L(1)=1 ;

• pour tout x de 0;1,L(x)x.

Partie A : Analyse théorique

Le but de la partie A est de vérifier que les fonctions f et g considérées satisfont les conditions énoncées ci-dessus.

1. Soit la fonction f définie sur 0;1 par f(x)=32x+1x+11.

a) Déterminer la dérivée f de f et dresser le tableau de variations de f sur 0;1.

b) Déterminer le signe de xf(x) sur 0;1.

c) La courbe représentant f est-elle une courbe de Lorenz ?

2. Soit g la fonction définie sur [0 ; 1] par g(x)=ex(e2)x1.

a) Déterminer la dérivée g de g, en déduire le sens de variations de g sur 0;1.

b) Calculer g(0) et g(1).

c) g est-elle convexe sur 0;1 ?

3. Soit h la fonction définie sur 0;1 par h(x)=ex+(e1)x+1.

a) Le tableau de signes suivant donne le signe de la dérivée de h (que l'on ne demande pas de calculer). Dresser le tableau de variations de ; on précisera l'arrondi à 0,1 près de h(ln(e1)).

Tableau de 2 lignes, 4 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : x; 0; ln(e − 1); 1; Ligne 2 : Signe de f″(x); +; 0; −;

b) Vérifier que, pour tout x de 0;1, on a h(x)=xg(x). À l'aide de la question 3. a), montrer que pour tout x appartenant à [0 ; 1], on a g(x)x.

c) Conclure.

Partie B : Application

Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes C et Γ respectivement représentatives des fonctions f et g définies dans la partie A, et le segment OAA est le point de coordonnées (1 ; 1).

033_matT_2000_00_42C_01

On suppose que la courbe de Lorenz Γ illustre la répartition des surfaces des exploitations agricoles d'un pays G.

En abscisse, x représente en pourcentage, la part des exploitations les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays. En ordonnée, g(x) représente le pourcentage total des superficies de ces exploitations. Par exemple, comme l'arrondi de g(0,3) à 102 est 0,13, on dit que 30 % des exploitations les plus petites représentent au total 13 % de la superficie des exploitations du pays G.

1. Donner la valeur arrondie à 0,01 de g(0,5). Interpréter ce résultat.

2. On appelle coefficient de Gini pour le pays G le nombre 2SS est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par le segment OA et la courbe Γ. On le note γG.

a) Exprimer cette aire à l'aide d'une intégrale. Déterminer la valeur exacte de cette aire.

b) Donner la valeur approchée à 0,01 de γG.

3. La représentation graphique C de f est la courbe de Lorenz pour un pays F. Calculer γF, le coefficient de Gini pour le pays F.

En donner la valeur exacte et la valeur approchée arrondie à 0,01.

4. Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des exploitations est égalitaire.

a) Quel est le pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire ?

b) Le graphique permet-il de prévoir ce résultat ? Pourquoi ?

 

Les clés du sujet

Partie A

1. a) Déterminez la dérivée f de f et étudiez son signe sur 0;1.

b) Déterminez l'expression de xf(x), réduisez au même dénominateur et étudier le signe du quotient obtenu sur 0;1.

c) Vérifiez que f est convexe sur 0;1 et concluez.

2. a) Déterminez la dérivée g de g et étudiez son signe sur 0;1.

c) Vérifiez que g est convexe sur 0;1.

3. a) Utilisez le tableau de signe de h pour dresser le tableau de variations de h.

b) et c) Évaluez h(x)=xg(x) et étudiez le signe de h(x) sur 0;1.

Partie B

2. Exprimez le coefficient de Gini à l'aide de l'intégrale donnant l'aire du domaine limité par le segment OA et la courbe Γ.

3. Faites le même calcul pour la courbe C.

4. Comparez les coefficients de Gini des pays F et G.

Partie A : Analyse théorique

1. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

On a f(x)=32 x+1x+11.f est dérivable sur 0;1 comme somme de quotients de fonctions dérivables sur 0;1.

f'(x)=321(x+1)2 =3(x+1)222(x+1)2=3(x2+2x+1)22(x+1)2=3x2+6x+12(x+1)2.

Comme 2(x+1)20 pour tout x de [0 ; 1], f(x) est du signe de 3x2+6x+1.

Étudions le signe de 3x2+6x+1 : le discriminant Δ de ce polynôme est Δ=624×3×1=24. Ses deux racines sont donc :

x1=62461,81 et x2=6+2460,18.

Ainsi, sur 0;1, 3x2+6x+1 est toujours positif. La fonction f est donc strictement croissante sur 0;1.

033_matT_2000_00_42C_tab01

b) Déterminer le signe d'une expression

On a:xf(x)= x 32x+1x+11=12x1x+1+1

=x(x+1)2+2(x+1)2(x+1)=x2+x2(x+1)=x(x+1)2(x+1)

Sur 0;1, x0 etx+10, donc xf(x)0.

Ainsi xf(x) pour tout x de 0;1.

c) Conclure sur la nature d'une courbe

La courbe représentant f est une courbe de Lorenz si toutes les conditions du préambule sont vérifiées.

Il reste à vérifier que f est convexe sur 0;1. Pour cela, on détermine la dérivée seconde de f et on étudie son signe.

f(x)=(6x+6)2(x+1)2(3x2+6x+1)(4x+4)2(x+1)22=2(x+1)(6x+6)(x+1)2(3x2+6x+1)4(x+1)4=6x2+12x+66x212x22(x+1)3=42(x+1)3.

Sur 0;1, f(x) est positive, f est donc convexe.

D'après les questions précédentes :

f est définie sur 0;1 ;

f est croissante sur 0;1 ;

f(0)=0 et f(1)=1 (tableau de variations) ;

pour tout x de 0;1, f(x)x ;

f est convexe sur 0;1.

On peut donc dire que la représentation graphique de f est une courbe de Lorenz.

2. a) Déterminer la dérivée d'une fonction

g est une fonction dérivable sur 0;1 car la fonction exponentielle et les fonctions affines sont dérivables sur cet intervalle.

On a g(x)=ex(e2).

Étudions le signe de g(x) sur 0;1.

g(x)0exe2xln(e2)

Or e21 donc ln(e2)0 ; ainsi sur 0;1, g est toujours croissante.

b) Calculer g(0) et g(1)

g(0)=e0(e2)×01=0 et g(1)=e1(e2)1=1.

c) Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle

à noter

Une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive.

g est dérivable sur 0;1.

On a g(x)=ex.

Pour tout x de 0;1, g(x)0, g est donc convexe sur 0;1.

3. a) Donner le tableau de variations d'une fonction sur un intervalle

On a h(ln(e1))0,21. Le tableau de variations de h sur 0;1 est :

033_matT_2000_00_42C_tab02

b) Étudier le signe d'une fonction

035_matT_2000_00_42C_Groupe_Schema_0

D'après le tableau de variations de h, on constate que, pour tout x de [0 ; 1], h(x)0 puisque h(0)=h(1)=0.

Ainsi, xg(x)0 et donc g(x)x.

c) Conclure sur la nature de la courbe de g

D'après les questions précédentes :

g est définie sur 0;1 ;

g est croissante sur 0;1 ;

g(0)=0 et g(1)=1 ;

pour tout x de 0;1,g(x)x ;

g est convexe sur 0;1.

On peut donc dire que la représentation graphique de g est une courbe de Lorenz.

Partie B : Application

1. Interpréter un résultat

g(0,5)=e0,5(e1)0,51=e0,50,5e0,29.

On peut dire que 50 % des exploitations les plus petites représentent au total 29 % de la superficie des exploitations du pays G.

2. a) Exprimer une aire à l'aide d'une intégrale

On a S=01(xg(x))dx=01(ex+(e1)x+1)dx=ex+(e1)x22+x01=e1+(e1)12+1e0+(e1)×02+0=e+12(e1)+1+1=12e+32.

b) Donner le coefficient de Gini γG

S0,14. Le coefficient de Gini pour le pays G est donc γG=2S2×0,140,28.

3. Déterminer le coefficient de Gini γF 

On a S=01(xf(x))dx=0112x1x+1+1dx=12x22ln(x+1)+x01=14ln2+1=34ln20,06.

On en déduit que γF=2S 0,12.

4. a) Comparer la répartition dans deux pays

Le coefficient de Gini du pays F est inférieur à celui du pays G, la répartition des exploitations est donc plus égalitaire dans le pays F.

b) Interpréter le résultat à l'aide du graphique 

Il aurait été possible de voir cette conclusion sur le graphique car l'aire située entre la droite d'équation y=x et la courbe C est plus petite que l'aire située entre la droite d'équation y=x et la courbe Γ.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner