Fonction logarithme népérien
Corrigé
20
Ens. spécifique
matT_1200_00_44C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
PARTIE A
Soit u la fontion définie sur 
par 
.
. (0,75 point)
. (0,5 point)
admet une solution unique dans l’intervalle 
. On note α cette solution. (0,75 point)
. (0,25 point)
de α. (0,25 point)
suivant les valeurs de x. (0,5 point)
. (0,5 point)
PARTIE B
On considère la fonction f définie sur 
par :
.
f est dérivable sur 
et on note 
sa fonction dérivée sur 
.
, 
en fonction de 
. (0,75 point)
. (0,75 point)
PARTIE C
Calcul d’une distance et prise d’initiative
Dans le plan muni d’un repère orthonormé 
, on note 
la courbe représentant la fonction logarithme népérien et A le point de coordonnées (0 ; 2).
Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de 
d’abscisse x.
On veut déterminer la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.
. (0,5 point)
par 
.
. (0,5 point)
On note P le point Γ d’abscisse cette valeur de x. (0,5 point)
en P ? (0,5 point)
Durée conseillée : 60 min.
Le thème en jeu
Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
. Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
.
.
Partie B
. Pour cela, pensez à utiliser la fonction u.
Partie C
.
en P. Pour la première, utilisez les coordonnées de deux points. Pour la deuxième, utilisez un nombre dérivé.
PARTIE A
> 1. Étudier les variations et les limites d’une fonction
est strictement croissante sur 
, donc la fonction 
est strictement croissante sur 
.
La fonction ln est strictement croissante sur 
.
Par conséquent, la fonction u, somme de ces deux fonctions, est 
et 
; donc, par somme : 
.
Il faut connaître par cœur les limites usuelles.
et
; donc, par somme : 
.
> 2. a) Démontrer qu’une équation admet une solution unique
Vous devez utiliser les limites de la fonction car l’intervalle d’étude est ici ouvert
D'après l'étude précédente, la fonction u, continue, est strictement croissante sur 
et à valeurs dans 
. De plus, 
. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 
admet alors une solution unique dans 
, notée α.
La fonction ln est strictement croissante sur 
et 
.
et 
car 
.
, donc α appartient à l’intervalle 
.
c) Encadrer la solution d’une équation
On prend 1 pour valeur de début avec un pas de 0,1. On « affine » l’encadrement au fur et à mesure.
Y1 = u(x) = X2 – 2 + lnX
On en déduit que 
.
> 3. Déterminer le signe d’une fonction
u est strictement croissante sur 
;
donc, pour tout réel x tel que 
, 
.
Or 
; donc pour tout x de 
, 
.
De même, pour tout réel x tel que 
, 
.
Donc pour tout x de 
, 
.
> 4. Démontrer une égalité
.
PARTIE B
> 1. Calculer la dérivée d’une fonction
Il est inutile de justifier la dérivabilité, celle-ci est affirmée dans l’énoncé.
La fonction f est la somme de la fonction carré et de la fonction h : 
.
Sur 
, h est de la forme 
, avec 
.
Donc pour tout x de 
, 
.
Or, pour tout x de 
, 
, donc 
.
Pour tout x de 
, 
.
On en déduit, par somme, que pour tout x de 
, 
.
Ainsi, pour tout x de 
, 
> 2. Déterminer les variations d’une fonction
Attention, 
a le même signe que u, mais pas les mêmes variations.
Pour tout x de 
, 
,
donc 
a le signe de 
déterminé à la
question
Pour tout x de 
, 
;
.
Pour tout x de 
, 
;
.
PARTIE C
> 1. Exprimer une distance en fonction d’une variable
Dans le repère orthonormé 
, A a pour coordonnées (0 ; 2) et M a pour coordonnées 
. Donc : 
.
> 2. a) Démontrer que deux fonctions ont le même sens de variation
La fonction racine carrée est strictement croissante sur 
, donc la fonction g : 
a les mêmes variations que f sur 
.
b) Déterminer le minimum d’une fonction associée
f et g ayant les mêmes variations sur 
, g admet, comme f, un minimum pour 
.
Autrement dit, 
c) Calculer une distance minimale
P est le point de 
d’abscisse α, donc P a pour coordonnées 
ou encore 
, compte tenu de l’égalité 
.
car 
.
> 3. Déterminer si deux droites sont ou ne sont pas perpendiculaires
La droite (AP) a pour coefficient directeur : 
.
La tangente à 
en P a pour coefficient directeur 
.
Le repère étant orthonormé, (AP) et 
sont perpendiculaires si, et seulement si 
.
Or, 
, donc (AP) et 
sont perpendiculaires.
Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.