Soit u la fontion définie sur par .

>  1.  a)    Étudier les variations de u sur . (0,75 point)

b)  Déterminer la limite de u en 0 et en . (0,5 point)

>  2.  a)    Démontrer que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle . On note α cette solution. (0,75 point)

b)  Montrer que . (0,25 point)

c)  Déterminer, avec une calculatrice, un encadrement d’amplitude de α. (0,25 point)

>  3.  Déterminer le signe de suivant les valeurs de x. (0,5 point)

>  4.  Démontrer l’égalité  . (0,5 point)

On considère la fonction f définie sur par  :

.

f est dérivable sur et on note sa fonction dérivée sur .

>  1.  Exprimer, pour tout x de , en fonction de . (0,75 point)

>  2.  En déduire les variations de f sur . (0,75 point)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on note la courbe représentant la fonction logarithme népérien et A le point de coordonnées (0    2).

Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de d’abscisse x.

On veut déterminer la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.

>  1.  Démontrer que . (0,5 point)

>  2.  Soit g la fonction défi nie sur par .

a)  Démontrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur . (0,5 point)

b)  En déduire la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.

On note P le point Γ d’abscisse cette valeur de x. (0,5 point)

c)  Déterminer les coordonnées de P et la distance AP en fonction de α. (0,5 point)

>  3.  La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à en P  ? (0,5  point)