Utilisation d’une fonction auxiliaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utilisation d’une fonction auxiliaire

Fonction logarithme népérien

Corrigé

20

Ens. spécifique

matT_1200_00_44C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Soit u la fontion définie sur par .

>1.a)    Étudier les variations de u sur . (0,75 point)

b)  Déterminer la limite de u en 0 et en . (0,5 point)

>2.a)    Démontrer que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle . On note α cette solution. (0,75 point)

b)  Montrer que . (0,25 point)

c)  Déterminer, avec une calculatrice, un encadrement d’amplitude de α. (0,25 point)

>  3.  Déterminer le signe de suivant les valeurs de x. (0,5 point)

>  4.  Démontrer l’égalité  . (0,5 point)

PARTIE B

On considère la fonction f définie sur par  :

.

f est dérivable sur et on note sa fonction dérivée sur .

>  1.  Exprimer, pour tout x de , en fonction de . (0,75 point)

>  2.  En déduire les variations de f sur . (0,75 point)

PARTIE C

Calcul d’une distance et prise d’initiative

Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on note la courbe représentant la fonction logarithme népérien et A le point de coordonnées (0    2).

Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de d’abscisse x.

On veut déterminer la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.

>  1.  Démontrer que . (0,5 point)

>  2.  Soit g la fonction défi nie sur par .

a)  Démontrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur . (0,5 point)

b)  En déduire la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.

On note P le point Γ d’abscisse cette valeur de x. (0,5 point)

c)  Déterminer les coordonnées de P et la distance AP en fonction de α. (0,5 point)

>  3.  La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à en P  ? (0,5  point)

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Durée conseillée  : 60 min.

Le thème en jeu

Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  Ne vous lancez pas dans le calcul de la dérivée de u. Considérez la fonction u comme une somme de deux fonctions. fiche    C9 B 

>    2.  Il ne s’agit pas ici de résoudre l’équation . Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. fiche    C11 

>    3.  Utilisez les variations de u sur deux intervalles en sachant que .

>    4.  Manipulez judicieusement l’égalité .

Partie B

>    1.  Attention  : utilisez les bonnes formules de dérivation. fiche    C7 

>    2.  Pour étudier les variations de f, étudier le signe de . Pour cela, pensez à utiliser la fonction u. fiche    C9 

Partie C

>    1.  Dans un repère orthonormé, .

>    2.  a)  Utilisez les variations de la fonction racine carrée et de f. 

b)  Utilisez le fait que les fonctions f et g ont le même sens de variation.

>    3.  Calculez les coefficients directeurs respectifs des droites (AP) et de la tangente à en P. Pour la première, utilisez les coordonnées de deux points. Pour la deuxième, utilisez un nombre dérivé. fiche    C8 

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