Utilisation d’une fonction auxiliaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utilisation d’une fonction auxiliaire

Fonction logarithme népérien

Corrigé

20

Ens. spécifique

matT_1200_00_44C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

PARTIE A

Soit u la fontion définie sur par .

>1.a)  Étudier les variations de u sur . (0,75 point)

b) Déterminer la limite de u en 0 et en . (0,5 point)

>2.a)  Démontrer que l’équation admet une solution unique dans l’intervalle . On note α cette solution. (0,75 point)

b) Montrer que . (0,25 point)

c) Déterminer, avec une calculatrice, un encadrement d’amplitude de α. (0,25 point)

> 3. Déterminer le signe de suivant les valeurs de x. (0,5 point)

> 4. Démontrer l’égalité . (0,5 point)

PARTIE B

On considère la fonction f définie sur par :

.

f est dérivable sur et on note sa fonction dérivée sur .

> 1. Exprimer, pour tout x de , en fonction de . (0,75 point)

> 2. En déduire les variations de f sur . (0,75 point)

PARTIE C

Calcul d’une distance et prise d’initiative

Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on note la courbe représentant la fonction logarithme népérien et A le point de coordonnées (0 ; 2).

Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de d’abscisse x.

On veut déterminer la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.

> 1. Démontrer que . (0,5 point)

> 2. Soit g la fonction définie sur par .

a) Démontrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur . (0,5 point)

b) En déduire la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.

On note P le point Γ d’abscisse cette valeur de x. (0,5 point)

c) Déterminer les coordonnées de P et la distance AP en fonction de α. (0,5 point)

> 3. La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à en P ? (0,5 point)

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Durée conseillée : 60 min.

Le thème en jeu

Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Ne vous lancez pas dans le calcul de la dérivée de u. Considérez la fonction u comme une somme de deux fonctions. fiche  C9 B 

>  2. Il ne s’agit pas ici de résoudre l’équation . Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. fiche  C11 

>  3. Utilisez les variations de u sur deux intervalles en sachant que .

>  4. Manipulez judicieusement l’égalité .

Partie B

>  1. Attention : utilisez les bonnes formules de dérivation. fiche  C7 

>  2. Pour étudier les variations de f, étudier le signe de . Pour cela, pensez à utiliser la fonction u. fiche  C9 

Partie C

>  1. Dans un repère orthonormé, .

>  2. a) Utilisez les variations de la fonction racine carrée et de f. 

b) Utilisez le fait que les fonctions f et g ont le même sens de variation.

>  3. Calculez les coefficients directeurs respectifs des droites (AP) et de la tangente à en P. Pour la première, utilisez les coordonnées de deux points. Pour la deuxième, utilisez un nombre dérivé. fiche  C8 

Corrigé

PARTIE A

>1. Étudier les variations et les limites d’une fonction

a) La fonction usuelle est strictement croissante sur , donc la fonction est strictement croissante sur .

La fonction ln est strictement croissante sur .

Par conséquent, la fonction u, somme de ces deux fonctions, est strictement croissante sur .

b) et  ; donc, par somme : .

Il faut connaître par cœur les limites usuelles.

et ; donc, par somme : .

>2.a) Démontrer qu’une équation admet une solution unique

Vous devez utiliser les limites de la fonction car l’intervalle d’étude est ici ouvert

D'après l'étude précédente, la fonction u, continue, est strictement croissante sur et à valeurs dans . De plus, . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet alors une solution unique dans , notée α.


La fonction ln est strictement croissante sur et .

b) et car .

, donc α appartient à l’intervalle .

c) Encadrer la solution d’une équation

On prend 1 pour valeur de début avec un pas de 0,1. On « affine » l’encadrement au fur et à mesure.


Y1 = u(x) = X2 – 2 + lnX



On en déduit que .

>3. Déterminer le signe d’une fonction

u est strictement croissante sur  ;

donc, pour tout réel x tel que ,
.

Or  ; donc pour tout x de , .

De même, pour tout réel x tel que , .

Donc pour tout x de , .


>4. Démontrer une égalité

.

PARTIE B

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Il est inutile de justifier la dérivabilité, celle-ci est affirmée dans l’énoncé.

La fonction f est la somme de la fonction carré et de la fonction h : .

Sur , h est de la forme , avec .

Donc pour tout x de , .

Or, pour tout x de , , donc .

Pour tout x de , .

On en déduit, par somme, que pour tout x de , .

Ainsi, pour tout x de ,

>2. Déterminer les variations d’une fonction

Attention, a le même signe que u, mais pas les mêmes variations.

Pour tout x de , ,
donc a le signe de déterminé à la
question 3. de la partie A.

Pour tout x de ,  ;

donc f est strictement décroissante sur .

Pour tout x de ,  ;

donc f est strictement croissante sur .

PARTIE C

>1. Exprimer une distance en fonction d’une variable

Dans le repère orthonormé , A a pour coordonnées (0 ; 2) et M a pour coordonnées . Donc : .

>2.a) Démontrer que deux fonctions ont le même sens de variation

La fonction racine carrée est strictement croissante sur , donc la fonction g : a les mêmes variations que f sur .

b) Déterminer le minimum d’une fonction associée

f et g ayant les mêmes variations sur , g admet, comme f, un minimum pour .

Autrement dit, la distance AM est minimale pour .

c) Calculer une distance minimale

P est le point de d’abscisse α, donc P a pour coordonnées ou encore , compte tenu de l’égalité .

car .

>3. Déterminer si deux droites sont ou ne sont pas perpendiculaires

La droite (AP) a pour coefficient directeur : .


La tangente à en P a pour coefficient directeur .

Le repère étant orthonormé, (AP) et sont perpendiculaires si, et seulement si .

Or, , donc (AP) et sont perpendiculaires.