Fonction logarithme népérien
Corrigé
20
Ens. spécifique
matT_1200_00_44C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
PARTIE A
Soit u la fontion définie sur par
.
. (0,75 point)
. (0,5 point)
admet une solution unique dans l'intervalle
. On note α cette solution. (0,75 point)
de α. (0,25 point)
suivant les valeurs de x. (0,5 point)
PARTIE B
On considère la fonction f définie sur par :
f est dérivable sur et on note
sa fonction dérivée sur
.
,
en fonction de
. (0,75 point)
PARTIE C
Calcul d'une distance et prise d'initiative
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on note
la courbe représentant la fonction logarithme népérien et A le point de coordonnées (0 2).
Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de d'abscisse x.
On veut déterminer la valeur de x pour laquelle la distance AM est minimale.
. (0,5 point)
par
.
. (0,5 point)
On note P le point Γ d'abscisse cette valeur de x. (0,5 point)
en P ? (0,5 point)
Durée conseillée : 60 min.
Le thème en jeu
Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
. Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
.
.
Partie B
. Pour cela, pensez à utiliser la fonction u.
Partie C
.
en P. Pour la première, utilisez les coordonnées de deux points. Pour la deuxième, utilisez un nombre dérivé.
PARTIE A
> 1. Étudier les variations et les limites d'une fonction
est strictement croissante sur
, donc la fonction
est strictement croissante sur
.
La fonction ln est strictement croissante sur .
Par conséquent, la fonction u, somme de ces deux fonctions, est
Il faut connaître par cœur les limites usuelles.
> 2. a) Démontrer qu'une équation admet une solution unique
Vous devez utiliser les limites de la fonction car l'intervalle d'étude est ici ouvert
D'après l'étude précédente, la fonction u, continue, est strictement croissante sur et à valeurs dans
. De plus,
. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
admet alors une solution unique dans
, notée α.

c) Encadrer la solution d'une équation
On prend 1 pour valeur de début avec un pas de 0,1. On « affine » l'encadrement au fur et à mesure.

Y1 = u(x) = X2 – 2 + lnX


> 3. Déterminer le signe d'une fonction
u est strictement croissante sur
donc, pour tout réel x tel que ,
.

> 4. Démontrer une égalité
PARTIE B
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Il est inutile de justifier la dérivabilité, celle-ci est affirmée dans l'énoncé.
La fonction f est la somme de la fonction carré et de la fonction h : .
> 2. Déterminer les variations d'une fonction
Pour tout x de ,
,
donc a le signe de
déterminé à la
question
PARTIE C
> 1. Exprimer une distance en fonction d'une variable
> 2. a) Démontrer que deux fonctions ont le même sens de variation
La fonction racine carrée est strictement croissante sur , donc la fonction g :
a les mêmes variations que f sur
.
b) Déterminer le minimum d'une fonction associée
c) Calculer une distance minimale
> 3. Déterminer si deux droites sont ou ne sont pas perpendiculaires

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.