Utiliser la représentation graphique d’une fonction

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utiliser la représentation graphique d’une fonction

Compléments sur les fonctions

Corrigé

12

Ens. spécifique

matT_1200_00_37C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal , la courbe Cf représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [− 6 ; 6].

Les deux droites T et T′ sont les tangentes à la courbe Cf aux points d’abscisses 0 et respectivement.


>1.a) Déterminer graphiquement une équation réduite de T et de T′. (1 point)

b) En déduire et . (0,5 point)

> 2. Préciser la position relative de Cf et T. (0,5 point)

> 3. Indiquer le nombre de solutions de l’équation
dans [− 6 ; 6].

On notera α la solution qui est un nombre négatif non entier. (0,5 point)

>4.a) Dresser le tableau de variation de f sur [− 6 ; 6] à partir de sa représentation graphique. (0,5 point)

b) En déduire le signe de la dérivée de f sur l’intervalle [− 6 ; 6]. (0,5 point)

> 5. Indiquer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes et préciser ses variations. (1,5 point)

a)

b)

c)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Fonctions : généralités.

Les conseils du correcteur

>  1. a) Pour T par exemple, utilisez les coordonnées des points A et B. Calculez dans un premier temps le coefficient directeur de la droite en utilisant la formule usuelle . Lisez graphiquement l’ordonnée à l’origine pour conclure.

b) est le coefficient directeur de la tangente T au point d’abscisse 0. → fiche  C8 

>  3. Résoudre graphiquement l’équation revient à déterminer les abscisses des points d’intersection de Cf et de l’axe des abscisses.

>  4. f est dérivable sur . Utilisez le théorème liant le signe de sa dérivée sur chaque intervalle et ses variations. → fiche  C9 

>  5. Utilisez les résultats sur les variations des fonctions , et après avoir précisé sur quels intervalles elles sont définies respectivement.

Corrigé

>1.a) Déterminer graphiquement une équation réduite d’une droite

Les droites T et T′ ne sont pas parallèles à l’axe des ordonnées, donc elles admettent une équation réduite de la forme .

  • Soit l’équation réduite de T ; pour déterminer m et p, on écrit que T passe par les points A(0 ; 3) et  :

et , ce qui équivaut à et .

D’où l’équation réduite de T : .

Soit l’équation réduite de T′ ; T′ passe par les points et donc .

Ainsi

.

D’où l’équation réduite de T′ : .

b) est le coefficient directeur de la tangente T à Cf en A.

De l’équation réduite de T, on déduit que .

De même, est le coefficient directeur de la tangente T
à Cf en B.

De l’équation réduite de T′, on déduit que .

>2. Déterminer graphiquement la position relative de deux courbes

La courbe Cf et la droite T sont sécantes en A et
en B.

Cf et T sont tangentes en A.

Cf est au-dessus de T sur et en dessous sur et sur .

>3. Résoudre graphiquement une équation de type f(x) =k

La courbe Cf et l’axe des abscisses ont trois points d’intersection, ce qui signifie que l’équation admet trois solutions.

On lit ces solutions sur le graphique :  ;  ; , avec .

>4.a) Déterminer graphiquement les variations d’une fonction


On lit : .

b) D’après le tableau de variation :

f est strictement décroissante sur et sur  ;

f est strictement croissante sur .

La fonction f étant dérivable sur , on en déduit le tableau de signes de  :


>5. Déterminer le sens de variation d’une fonction
sans utiliser la dérivée

a) La fonction g est définie si, et seulement si .
D’après 4. a) : l’ensemble de définition de g est

.

La fonction est :

  • strictement décroissante sur et sur  ;
  • strictement croissante sur , sur , sur et sur .

b) La fonction exponentielle est définie sur , donc la fonction a le même ensemble de définition que f.

La fonction h a les mêmes variations que f.

c) La fonction ln est définie sur , donc la fonction k est définie si, et seulement si , c’est-à-dire sur .

La fonction ln est strictement croissante sur , donc la fonction h est :

  • strictement décroissante sur et sur  ;
  • strictement croissante sur .