Nombres complexes et applications
Corrigé
25
Ens. spécifique
matT_1200_00_50C
Sujet inédit
Exercice • 4,5 points
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé 
d'unité graphique 2 cm.
PARTIE A
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
, 
, 
, 
et 
.
et 
. (1 point)
. (0,5 point)
.(0,5 point)
et celle de 
. (0,5 point)
PARTIE B
Tracer ce cercle et placer les points A, B, C, D et E. (0,5 point)
Durée conseillée : 35 min.
Le thème en jeu
Nombres complexes.
Les conseils du correcteur
Partie A
est un nombre réel strictement positif. → fiche C35
est écrit sous forme exponentielle.
n'est pas écrit sous forme exponentielle. → fiche C31
Partie B
Calculez des distances pour ne pas oublier une propriété du triangle. → fiche C37
PARTIE A
> 1. Calculer un module et déterminer un argument
est un nombre réel strictement positif,
donc 
et 
à 
près.
Un nombre réel strictement positif a pour argument 0 et un nombre réel strictement négatif a pour argument 
, à 
près.
.
Ainsi : 
.
On pose 
à 
près.
On a alors, 
, d'où :
et 
, donc 
à 
près.
> 2. Déterminer le module et un argument d'un nombre complexe conjugué
Par définition, 
, donc :
et 
à 
près.
> 3. Lire le module et un argument d'un nombre complexe
est écrit avec la notation exponentielle,
donc on a directement 
et 
à 
près.
> 4. Passer de la notation exponentielle à la forme algébrique
car 
.
PARTIE B
> 1. Représenter géométriquement un nombre complexe
On a donc par définition : 
- Les nombres complexes
, 
, 
et 
sont de module 2, donc les points A, B, C et D appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 2. - Un argument de
est 
à 
près, donc B est le point du cercle C tel que
à 
près. 
, donc le point C est le symétrique du point B par rapport à l'axe réel (axe des abscisses).- Un argument de
est 
à 
près,
donc D est le point du cercle 
à 
près.
,
donc E est le point du cercle 
à 
près.
- Le point A a pour coordonnées (2 0).
> 2. Déterminer la nature d'un triangle
, soit 
d'après la question 4. de la partieA .
I est le milieu de [AB] équivaut à 
.
On a donc 
: le point O est ainsi le milieu du segment [CD], c'est-à-dire que le segment [CD] est un diamètre du cercle
Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle (d'hypoténuse ce diamètre).
Le triangle BCD est inscrit dans le cercle
- Démontrons que le triangle BCD est également isocèle.
.
Ainsi, 
donc le triangle BCD est isocèle en B.
- Finalement,
le triangle BCD est rectangle isocèle en B .