Utiliser les différentes formes d’un nombre complexe

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utiliser les différentes formes d’un nombre complexe

Nombres complexes et applications

Corrigé

25

Ens. spécifique

matT_1200_00_50C

Sujet inédit

Exercice • 4,5 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm.

PARTIE A

On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

, , , et .

> 1. Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes et . (1 point)

> 2. Donner le module et un argument de . (0,5 point)

> 3. Donner sans calcul le module et un argument de .(0,5 point)

> 4. Déterminer la forme algébrique de et celle de . (0,5 point)

PARTIE B

> 1. Démontrer que les points A, B, C, D et E sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. (0,75 point)

Tracer ce cercle et placer les points A, B, C, D et E. (0,5 point)

> 2. Déterminer la nature du triangle BCD. (0,75 point)

Durée conseillée : 35 min.

Le thème en jeu

Nombres complexes.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Remarquez que est un nombre réel strictement positif. → fiche  C35 

>  2. Utilisez les propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe conjugué. → fiches  C33   C34 

>  3. Remarquez que est écrit sous forme exponentielle.

>  4. Faites attention : n’est pas écrit sous forme exponentielle. → fiche  C31 

Partie B

>  1. Observez les quatre modules trouvés dans la partie A et calculez-en un cinquième. Pour placer le point E, déterminez l’écriture trigonométrique de zE avec la notation exponentielle. → fiche  C35 

>  2. Démontrez que le segment [CD] est un diamètre du cercle et remarquez que le triangle BCD est inscrit dans ce cercle.

Calculez des distances pour ne pas oublier une propriété du triangle. → fiche  C37 

Corrigé

PARTIE A

> 1. Calculer un module et déterminer un argument

  • est un nombre réel strictement positif,

donc et à près.

Un nombre réel strictement positif a pour argument 0 et un nombre réel strictement négatif a pour argument , à près.

  • .

Ainsi : .

On pose à près.

On a alors, , d’où :

et , donc à près.

> 2. Déterminer le module et un argument d’un nombre complexe conjugué

Par définition, , donc :

et à près.

> 3. Lire le module et un argument d’un nombre complexe

est écrit avec la notation exponentielle,

donc on a directement et à près.

> 4. Passer de la notation exponentielle à la forme algébrique

car .

PARTIE B

> 1. Représenter géométriquement un nombre complexe

On a donc par définition :

  • Les nombres complexes , , et sont de module 2, donc les points A, B, C et D appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 2.
  • Un argument de est à près, donc B est le point du cercle C tel que à près.
  • , donc le point C est le symétrique du point B par rapport à l’axe réel (axe des abscisses).
  • Un argument de est à près,

donc D est le point du cercle C tel que à près.

,

donc E est le point du cercle C tel que à près.

  • Le point A a pour coordonnées (2 ; 0).

> 2. Déterminer la nature d’un triangle

  • , soit d’après la question 4. de la partie A.

I est le milieu de [AB] équivaut à .

On a donc  : le point O est ainsi le milieu du segment [CD], c’est-à-dire que le segment [CD] est un diamètre du cercle C.

Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle (d’hypoténuse ce diamètre).

Le triangle BCD est inscrit dans le cercle C et le segment [CD] est un diamètre de ce cercle, donc le triangle BCD est rectangle en B.

  • Démontrons que le triangle BCD est également isocèle.

 ;

.

Ainsi, donc le triangle BCD est isocèle en B.

  • Finalement, le triangle BCD est rectangle isocèle en B.