Utiliser les propriétés d’une fonction exponentielle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utiliser les propriétés d’une fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Corrigé

16

Ens. spécifique

matT_1200_00_40C

Sujet inédit

Exercice • 7 points

Soit f la fonction définie sur par .

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm.

>1.a) Déterminer la limite de f en et en . (0,5 point)

b) Étudier la position relative de la courbe C et de la droite d’équation . (0,5 point)

>2.a) Calculer et démontrer que pour tout réel x, . (0,75 point)

b) Étudier les variations de f sur et dresser son tableau de variation. (0,5 point)

>3.a) Que peut-on dire de la tangente à la courbe C au point I d’abscisse  ? (0,5 point)

b) Étudier la position relative de C et . (0,75 point)

>4.a) Démontrer que la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation réduite . (0,5 point)

b) Étudier la position de C et sur l’intervalle . (0,75 point)

On utilisera le résultat suivant, admis :

pour tout x de , , où est la dérivée seconde de f, c’est-à-dire la dérivée de .

> 5. On admet que le point I est le centre de symétrie de la courbe C.

Tracer la courbe C, les droites , , et les asymptotes à la courbe C.

On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm. (0,75 point)

>6.a) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur par . (0,5 point)

b) Soit un réel strictement négatif.

On note l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par , C et les droites d’équations et .

Démontrer que . (0,5 point)

c) Calculer .

On donnera la valeur arrondie à deux décimales, en unités d’aire. (0,5 point)

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes en jeu

Fonction exponentielle • Calcul intégral.

Les conseils du correcteur

>  1. a) Pour lever l’indétermination en , pensez à factoriser par . → fiches  C1  C2 

b) Étudier la position relative de C et revient à étudier le signe de . → fiche  C13 

>  2. a) Commencez par calculer la dérivée de la fonction  : . (Attention, la fonction auxiliaire introduite ici est une fonction quotient. Appliquez donc la bonne formule !). Remarquez, quand vous transfor­merez l’expression de , les deux identités remarquables et . → fiche  C7 

b) Notez que .

>  3. a) Déterminez le coefficient directeur de .

b) N’oubliez pas que si f est croissante alors entraîne . Utilisez le résultat important établi dans les questions précédentes, à savoir : .

>  4. Cette question demande de votre part une certaine initiative. Il s’agit d’étudier le signe de . Pour cela, étudiez les variations de h et de en étudiant en particulier le signe de . Remarquez que et . → fiches  C7  C9 

>  6. a) Remarquez que est de la forme .

b) Le domaine est compris entre C et , avec au-dessus de C, donc . → fiches  C27  C28 

Corrigé

>1.a) Calculer la limite d’une fonction

, donc et .

Par quotient, on en déduit que .

D’autre part, . Donc, par somme :

, on a donc une forme indéterminée.

Pour tout réel , .

, donc .

Comme , on obtient, par somme

b) Étudier la position relative de deux courbes

Pour tout x, .

Pour tout x, donc .

On en déduit que la courbe C est en dessous de la droite sur ℝ.

>2.a) Calculer la dérivée d’une fonction

On pose, pour tout réel x,  ; alors

N’oubliez pas que l’objectif principal est d’étudier le signe de . Restez donc dans une optique de factorisation.

Pour tout réel x, avec
et , donc et .

D’où, pour tout réel x,

Ainsi, pour tout réel x,

b) Étudier les variations d’une fonction

Un carré étant toujours positif ou nul, on en déduit que pour tout réel x, . De plus, .

Ainsi, la dérivée de f ne s’annule que pour une seule valeur de x, donc la fonction f est strictement croissante sur .


>3.a) Étudier une tangente particulière à une courbe

, donc la tangente à la courbe C au point  est parallèle à l’axe des abscisses (tangente horizontale).

b) Étudier la position relative d’une courbe et de l’une de ses tangentes

a pour équation réduite .

On étudie donc le signe de sur .

  • f est strictement croissante sur , donc pour tout , , soit .

Or, , donc pour tout , .

  • De même, f est strictement croissante sur , donc pour tout , , soit .

Ainsi, la courbe C est en dessous de sa tangente en I sur et au-dessus sur .

>4.a) Déterminer l’équation réduite d’une tangente

f étant dérivable en 0, la tangente au point d’abscisse 0 a pour équation réduite .

et . Donc a pour équation réduite

b) Étudier la position relative d’une courbe et de l’une de ses tangentes

Il s’agit d’étudier le signe de
sur .

On ne peut pas déterminer directement le signe de .

Pour tout x de ,

et .

Pour tout réel x, , donc a
le signe de sur

Pour étudier le signe de , pensez à résoudre l’inéquation (ou ).

est donc strictement décroissante sur .

Or , donc .

Ainsi, pour tout , et pour tout , , ce qui signifie que h est strictement croissante sur et strictement décroissante sur  ; h admet donc, sur , un maximum en 0, égal à .

On en déduit que, pour tout , .

Donc, sur et sur , C est en dessous de sa tangente au point de coordonnées (0 ; 1).

>5. Représenter graphiquement une courbe et des tangentes à cette courbe


>6.a) Déterminer une primitive d’une fonction

On remarque que pour tout x, est de la forme avec et . Donc :

une primitive de g sur est la fonction G
définie par .

La fonction G est bien définie sur car . En effet, la fonction logarithme népérien est définie sur .

b) Calculer une aire entre deux courbes

Soit .

D’après le résultat établi en 1. b), pour tout x, .

De plus, la fonction est continue sur . Donc :

Rappel

(si et ).

soit en unités d’aire.

c) Calculer la limite d’une aire

, donc . D’après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, la fonction ln étant continue en  : .

Avec une calculatrice, on obtient  u.a.