Utiliser une suite auxiliaire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Utiliser une suite auxiliaire
 
 

Suites numériques

Corrigé

9

Ens. spécifique

matT_1306_13_07C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

On considère la suite (un) définie par et telle que, pour tout entier naturel n, .

>1.a) Calculer u1 et u2.

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < un.

>2. On admet que pour tout entier naturel n, un< 1.

a) Démontrer que la suite (un) est croissante.

b) Démontrer que la suite (un) converge.

>3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par .

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.

b) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, .

d) Déterminer la limite de la suite (un).

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Suites numériques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Raisonnement par récurrence  E1 1. b)
  • Suites et variations  E2a  → 2. a)
  • Suites et convergence  E2e  → 2. b)
  • Suites géométriques  E4a • E4b • E4c  → 3. a), et 3. b)
  • Suites et limites  E2c  → 3. d)

Nos coups de pouce

>3. a) Établissez, pour tout entier naturel n, une relation entre vn+1 et vn de la forme vn+1= qvnq est un réel à préciser.

Corrigé

>1.a) Calculer des termes d’une suiteb) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : .

Initialisation : donc P(0) est vraie.

Hérédité : supposons que P(k) est vraie pour un entier naturel k. Démontrons que P(k+ 1) est vérifiée.

D’après l’hypothèse de récurrence, on sait que .

Or : et donc . P(k+ 1) est donc vérifiée et la propriété P(n) est héréditaire.

Conclusion : d’après l’axiome de récurrence, pour tout entier naturel n, on a .

>2.a) Étudier les variations d’une suite

Pour tout entier naturel n :

Comme, pour tout entier naturel n, on sait que , alors :

La suiteest donccroissante.

b) Établir la convergence d’une suite

La suite est croissante et majorée (par 1), donc elle est convergente.

>3.a) Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n, on sait que , donc et la suite est bien définie.

Pour tout entier naturel n :

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 3.

b) Déterminer la forme explicite d’une suite auxiliaire

La suite (vn) est une suite géométrique de raison 3. Son premier terme est .

Donc, pour tout entier naturel n : .

c) Déterminer la forme explicite de la suite initiale

Pour tout entier naturel n :

d) Déterminer la limite d’une suite

Pour tout entier naturel n : .

Or donc . Par somme et passage à l’inverse, on obtient donc .