▶ 1. a) Calculer des termes d'une suite

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{3u_0}{1+2u_0}=\frac{3\times \frac{1}{2}}{1+2\times \frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}=0,75\\ u_2=\frac{3u_1}{1+2u_1}=\frac{3\times \frac{3}{4}}{1+2\times \frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{10}{4}}=\frac{9}{10}=0,9.\end{array}$

b) Démontrer une inégalité par récurrence

Soit P(n) la propriété : $0\text{<msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub>}$.

Initialisation : $u_0=\frac{1}{2}\text{>}0$ donc P(0) est vraie.

Hérédité : supposons que P(k) est vraie pour un entier naturel k. Démontrons que P(k + 1) est vérifiée.

D'après l'hypothèse de récurrence, on sait que $u_k\text{>}0$.

Or : $u_{k+1}=\frac{3u_k}{1+2u_k}$ où $3u_k\text{>}0$ et $1+2u_k\text{>}0$ donc $u_{k+1}\text{>}0$. P(k + 1) est donc vérifiée et la propriété P(n) est héréditaire.

Conclusion : d'après l'axiome de récurrence, pour tout entier naturel n, on a $u_n\text{>}0$.

▶ 2. a) Étudier les variations d'une suite

Pour tout entier naturel n :

$\begin{array}{c}{u}_{n+1}-u_n=\frac{3u_n}{1+2u_n}-u_n=\frac{3u_n}{1+2u_n}-\frac{u_n(1+2u_n)}{1+2u_n}\\ =\frac{3u_n-u_n-2u_n{}^2}{1+2u_n}=\frac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}.\end{array}$

Comme, pour tout entier naturel n, on sait que , alors :

$\left.\begin{array}{l}2u_n\text{>}0\\ 1-u_n\text{>}0\\ 1+2u_n\text{>}0\end{array}\right\}\Rightarrow u_{n+1}-u_n\text{>}0$

La suite $\text{(}{u}_n\text{)}$ est donc croissante.

b) Établir la convergence d'une suite

La suite $\text{(}{u}_n\text{)}$ est croissante et majorée (par 1), donc elle est convergente.

▶ 3. a) Démontrer qu'une suite est géométrique

Pour tout entier naturel n, on sait que $u_n\text{<mn>1</mn>}$, donc $1-u_n\ne 0$ et la suite $(v_n)$ est bien définie.

Pour tout entier naturel n :

La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison 3.

b) Déterminer la forme explicite d'une suite auxiliaire

La suite (v_n) est une suite géométrique de raison 3. Son premier terme est $v_0=\frac{u_0}{1-u_0}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$.

Donc, pour tout entier naturel n : $v_n=v_0\times 3^n=3^n$.

c) Déterminer la forme explicite de la suite initiale

Pour tout entier naturel n :

$\begin{array}{l}{v}_n=\frac{u_n}{1-u_n}\iff 3^n=\frac{u_n}{1-u_n}\stackrel{(1-u_n\ne 0)}{\iff }{3}^n(1-u_n)=u_n\\ \iff 3^n-3^n\times u_n=u_n\iff 3^n=(3^n+1)\times u_n\iff u_n=\frac{3^n}{3^n+1}.\end{array}$

d) Déterminer la limite d'une suite

Pour tout entier naturel n : $u_n=\frac{3^n}{3^n+1}=\frac{3^n}{3^n\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}=\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n}$.

Or donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$. Par somme et passage à l'inverse, on obtient donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=1$.