Partie 1. maintien à température du digestat

▶ 1. Identifier un mode de transfert thermique

Le mode de transfert thermique à travers les parois latérales du méthaniseur est la conduction. C'est en effet ici le mode principal : la convection est impossible dans un solide et le rayonnement, bien qu'existant, est relativement faible à la température du méthaniseur (38 °C).

▶ 2. Calculer une résistance thermique

La résistance thermique de parois accolées est la somme des résistances thermiques des différentes couches de matériaux, et la valeur de chaque résistance thermique est donnée par la relation $R_{\text{th}}=\frac{e}{\text{λ}\times S}$.

La résistance thermique de la paroi verticale du méthaniseur est donc :

$R_{\text{th}}=R_{\text{th}}\left(\text{béton}\right)+ R_{\text{th}}\left(\text{polystyrène}\right)+ R_{\text{th}}\left(\text{bois}\right)$

$R_{\text{th}}=\frac{e_1}{{\text{λ}}_{\text{béton}}\times S_{\text{béton}}}+ \frac{e_2}{{\text{λ}}_{\text{polystyrène}}\times S_{\text{polystyrène}}}+ \frac{e_3}{{\text{λ}}_{\text{bois}}\times S_{\text{bois}}}$

Les valeurs des épaisseurs et des conductivités thermiques sont données. L'énoncé indique que le cylindre a un diamètre D. Donc, si nous supposons ce diamètre comme étant celui de toutes les surfaces d'échange (couche de béton, de polystyrène et de bois) alors la surface d'échange pour ces trois matériaux est identique : S = πDh. On peut donc écrire :

$R_{\text{th}}=\frac{1}{\text{π}Dh}\times \left(\frac{e_1}{{\text{λ}}_{\text{béton}}}+ \frac{e_2}{{\text{λ}}_{\text{polystyrène}}}+ \frac{e_3}{{\text{λ}}_{\text{bois}}}\right)$

$=\frac{1}{\text{π}\times 10\times 5}\times \left(\frac{\mathrm{0,30}}{\mathrm{1,65}}+\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,038}}+\frac{\mathrm{0,02}}{\mathrm{0,20}}\right)$

 = 2,7 × 10^–2 unités S.I.

Cette valeur est bien celle annoncée dans l'énoncé. L'unité de la résistance thermique peut être déduite d'une rapide analyse dimensionnelle : cette unité est celle du rapport $\frac{e}{\text{λ}S}$ donc l'inverse de l'unité de la conductivité λ multiplié par l'inverse d'une longueur puisque $\frac{e}{S}$ a pour dimension l'inverse d'une longueur.

D'où : (W ∙ m^–1 ∙ K^–1)^–1 × m^–1 = (W^–1 ∙ m ∙ K) × m^–1 = K ∙ W^–1.

Finalement : R_th = 2,7 × 10^–2 K ⋅ W^–1.

▶ 3. a) Schématiser un flux thermique

La température du digestat doit être voisine de 38 °C donc supérieure à celle de l'air (en moyenne à 10 °C). De plus, le transfert thermique se fait toujours de la source chaude vers la source froide. On peut alors schématiser ce flux de la façon suivante.

b) Calculer un flux thermique

Φ = $\frac{T_{\text{chaude}}-T_{\text{froide}}}{R_{\text{th}}}=$ $\frac{\text{38}-\text{10}}{\text{2,7}\times {10}^{-2}}=$ 1,0 × 10³ W.

▶ 4. Effectuer une étude énergétique

L'énergie stockée dans cette installation est donnée par le produit du volume de gaz dégagé par la valeur de l'énergie que peut produire ce gaz :

E_stockée = 750 000 × 21 × 10⁶ = 1,6 × 10¹³ J.

Les pertes énergétiques sur une année sont quant à elles égales à :

E_perdue = 1,6 × 10³ × 60 × 60 × 24 × 365,25 = 5,0 × 10¹⁰ J.

Les pertes thermiques représentent donc :

$\frac{\text{1,6}\times {10}^{13}}{\text{5,0}\times {10}^{10}}=$ 0,3 % de l'énergie stockée ce qui est très faible et qui permet de considérer que ce stockage thermique est efficace.

Partie 2. le digestat, un engrais vert

▶ 1. Identifier l'espèce chimique majoritaire

Traçons le diagramme de prédominance du couple ion ammonium/ammoniac :

Ce diagramme permet d'affirmer qu'à un pH égal à 5, comme l'est celui de la solution S, l'espèce majoritaire est l'ion ammonium NH₄⁺.

▶ 2. a) Écrire une équation de réaction

Dans la solution S, l'espèce majoritaire est un acide NH₄⁺ et on le dose par la base du couple eau/ion hydroxyde, on peut donc écrire l'équation de la réaction se produisant :

NH₄⁺_(aq) + HO^–_(aq) → NH_3(aq) + H₂O_(l)

b) Exploiter un titrage pour vérifier une information

Le suivi pH-métrique du titrage nous permet d'en déterminer le volume équivalent, à l'aide de la méthode des tangentes (voir schéma ci-après).

À l'équivalence les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques, or d'après l'équation de la réaction, on peut écrire :

n_i(NH₄⁺) = n_E(HO^–)

n_i(NH₄⁺) = $C_{\text{b}}\times V_{\text{E}}=\text{0,10}\times \text{9,3}\times {10}^{-3}=$ 9,3 × 10^–4 mol.

Sur le graphique, nous lisons V_E = 9,3 mL.

Cette quantité correspond à 10 mL de la solution S or, à partir d'un kilogramme de digestat, on a obtenu 2 litres de la solution S. La quantité d'ion ammonium présente dans ces deux litres est donc 200 fois supérieure à celle qui a été titrée :

n_S(NH₄⁺) = $200\times n_{\text{i}}\left({\text{NH}}_4{}^{+}\right)$

De plus, dans la solution S, la quantité d'azote présente est égale à celle d'ion ammonium donc la masse d'azote présente dans la solution S, et par conséquent dégagée par un kilogramme de digestat, est :

m(N) = n_S(N) × M(N) = n_S(NH₄⁺) × M(N) =$200\times n_{\text{i}}\left({\text{NH}}_4{}^{+}\right)\times M$(N)

m(N) $=200\times \text{9,3}\times {10}^{-4}\times 14$ = 2,6 g.

La teneur indiquée par le laboratoire est donc parfaitement cohérente avec le titrage effectué.

c) Comparer quantitativement deux procédés

Dans 1 mole de nitrate d'ammonium, il y a 2 moles d'azote, or 2 moles d'azote ont une masse de 2 × 14 = 28 g. Donc, dans une mole de nitrate d'ammonium, il y a 28 g d'azote.

Pour le digestat, l'apport en azote a été vérifié dans la question précédente : 2,6 g pour 1 kg de digestat.

Calculons l'apport d'un kilogramme de nitrate d'ammonium.

1 mole de nitrate d'ammonium a une masse égale à :

M = 2 × M(N) + 4 × M(H) + 3 × M(O) = 2 × 14 + 4 × 1 + 3 × 16 = 80 g

Donc pour 80 g d'engrais, on a 28 g d'azote.

1 kilogramme de nitrate d'ammonium contient donc $\frac{28}{80}\times \text{1 000}=$ 350 g.

L'apport du nitrate d'ammonium en azote est plus de 100 fois plus grand que celui du digestat.

Nous pouvons directement voir dans cette comparaison un inconvénient à l'utilisation du digestat en tant qu'engrais azoté : sa faible teneur en azote (2,6 g pour 1 kg de digestat) implique qu'il faudra en répandre beaucoup pour un même apport en azote.

Par ailleurs, il faudrait regarder la composition chimique du reste du digestat : sur 1 kg, 997,4 g de digestat ne sont pas de l'azote. Il faudrait donc aussi s'assurer que ce sont bien des apports bénéfiques pour le sol.

L'avantage du digestat est qu'il est (presque) gratuit et facilement accessible puisqu'il résulte du processus utilisé pour fabriquer un combustible dans l'exploitation agricole elle-même.