▶ 1. Donner une expression de la variance de la somme de deux variables aléatoires

En utilisant la définition de la variance et les propriétés de l'espérance :

On a donc, en réordonnant :

$V(X+Y)=E(X^2)-{\left[E(X)\right]}^2+E(Y^2)-{\left[E(Y)\right]}^2+2E(XY)-2E(X)E(Y)$

soit :

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E(XY)-2E(X)E(Y)$.

▶ 2. Exploiter l'indépendance de deux variables aléatoires

On considère que X prend les valeurs $x_1, x_2, \dots , x_p$ et que Y prend les valeurs $y_1, y_2, \dots , y_q$. Alors XY prend les valeurs $x_i{y}_j$ avec $1\le i\le p$ et $1\le j\le q$.

$E(XY)={\displaystyle \sum }_{i=1}^p{\displaystyle \sum }_{j=1}^q{x}_i{y}_{j}P(X=x_i\text{ et} Y=y_j)$.

On suppose dans cette question que X et Y sont indépendantes, donc $P(X=x_i \text{et} Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(Y=y_j)$ quels que soient les entiers i et j. D'où :

$E(XY)={\displaystyle \sum }_{i=1}^p{\displaystyle \sum }_{j=1}^q{x}_i{y}_{j}P(X=x_i)\times P(Y=y_j)$

$E(XY)={\displaystyle \sum }_{i=1}^p{x}_{i}P(X=x_i)\times {\displaystyle \sum }_{j=1}^q{y}_{j}P(Y=y_j)$

(dans la deuxième somme, on met en facteur $x_i P(X=x_i)$ qui ne dépend pas de j). Donc :

$E(XY)=E(X)\times E(Y)$.

▶ 3. Justifier le calcul de la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes

On a vu que, quelles que soient les variables aléatoires X et Y :

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E(X Y)-2 E(X)E(Y).$

Si de plus X et Y sont indépendantes, alors $E(XY)=E(X)\times E(Y)$, donc $2E(XY)-2E(X)E(Y)=0$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.