Annale corrigée Exercice

Variables aléatoires indépendantes

Sommes de variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

50 min

4 points

Intérêt du sujet  Dans cet exercice, on introduit la notion de covariance, on précise la relation de dépendance éventuelle entre deux variables aléatoires, et la conséquence de cette éventuelle indépendance sur le calcul de la variance de leur somme.

 

X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même univers.

On note respectivement E(X) et V(X) l'espérance et la variance de X, E(Y) et VY l'espérance et la variance de Y, E(X+Y) et V(X+Y) l'espérance et la variance de leur somme.

On rappelle que, pour toute variable aléatoire Z :

V(Z)=E(Z2)E(Z)2.

1. Montrer que :

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E(XY)2E(X)E(Y).

2. Montrer que si X et Y sont indépendantes : E(XY)=E(X)×E(Y).

3. En déduire que si X et Y sont indépendantes alors :

V(X+Y)=V(X)+V(Y).

 

Les clés du sujet

1. Le nombre E(XY)E(X)E(Y) est appelé covariance de X et Y et noté Cov(X;Y). Il quantifie, d'une certaine manière, les écarts des deux variables par rapport à leurs espérances respectives. Utilisez la propriété rappelée pour la variance, puis la linéarité de l'espérance.

2. Utilisez la définition de l'espérance et l'indépendance des deux variables aléatoires. Ce résultat peut être traduit de la manière suivante : si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors leur covariance est nulle. On peut montrer que la réciproque est fausse.

3. C'est une conséquence des deux questions précédentes.

1. Donner une expression de la variance de la somme de deux variables aléatoires

En utilisant la définition de la variance et les propriétés de l'espérance :

361639-Eqn244

On a donc, en réordonnant :

V(X+Y)=E(X2)E(X)2+E(Y2)E(Y)2+2E(XY)2E(X)E(Y)

soit :

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E(XY)2E(X)E(Y).

2. Exploiter l'indépendance de deux variables aléatoires

On considère que X prend les valeurs x1, x2, , xp et que Y prend les valeurs y1, y2, , yq. Alors XY prend les valeurs xiyj avec 1ip et 1jq.

E(XY)=i=1pj=1qxiyjP(X=xi et Y=yj).

On suppose dans cette question que X et Y sont indépendantes, donc P(X=xi et Y=yj)=P(X=xi)×P(Y=yj) quels que soient les entiers i et j. D'où :

E(XY)=i=1pj=1qxiyjP(X=xi)×P(Y=yj)

E(XY)=i=1pxiP(X=xi)×j=1qyjP(Y=yj)

(dans la deuxième somme, on met en facteur xi P(X=xi) qui ne dépend pas de j). Donc :

E(XY)=E(X)×E(Y).

3. Justifier le calcul de la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes

On a vu que, quelles que soient les variables aléatoires X et Y :

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E(X Y)2 E(X)E(Y).

Si de plus X et Y sont indépendantes, alors E(XY)=E(X)×E(Y), donc 2E(XY)2E(X)E(Y)=0 et V(X+Y)=V(X)+V(Y).

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