Variables aléatoires indépendantes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Sommes de variables aléatoires
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Sommes de variables aléatoires

Variables aléatoires indépendantes

50 min

4 points

Intérêt du sujet  Dans cet exercice, on introduit la notion de covariance, on précise la relation de dépendance éventuelle entre deux variables aléatoires, et la conséquence de cette éventuelle indépendance sur le calcul de la variance de leur somme.

 

X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même univers.

On note respectivement E(X) et V(X) l’espérance et la variance de X, E(Y) et VY l’espérance et la variance de Y, E(X+Y) et V(X+Y) l’espérance et la variance de leur somme.

On rappelle que, pour toute variable aléatoire Z :

V(Z)=E(Z2)E(Z)2.

1. Montrer que :

V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2E(XY)2E(X)E(Y).

2. Montrer que si X et Y sont indépendantes : E(XY)=E(X)×E(Y).

3. En déduire que si X et Y sont indépendantes alors :

V(X+Y)=V(X)+V(Y).

 

Les clés du sujet

1. Le nombre E(XY)E(X)E(Y) est appelé covariance de X et Y et noté Cov(X;Y). Il quantifie, d’une certaine manière, les écarts des deux variables par rapport à leurs espérances respectives. Utilisez la propriété rappelée pour la variance, puis la linéarité de l’espérance.

2. Utilisez la définition de l’espérance et l’indépendance des deux variables aléatoires. Ce résultat peut être traduit de la manière suivante : si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors leur covariance est nulle. On peut montrer que la réciproque est fausse.

3. C’est une conséquence des deux questions précédentes.