Fonction logarithme népérien
Corrigé
19
Ens. spécifique
matT_1200_00_43C
Sujet inédit
Exercice • 5,5 points
On considère la fonction f définie sur 
par 
et on note C sa courbe représentative dans un repère du plan.
PARTIE A
Étude de l'équation f(x) = x
. (0,75 point)
par : 
.
. (0,5 point)
admet une unique solution dans l'intervalle 
, que l'on notera α, puis donner la valeur arrondie au dixième de α. (1,25 point)
dans 
. (0,5 point)
dans 
. (0,5 point)
PARTIE B
Étude de la tangente à une courbe en un point fixe
à la courbe C au point d'abscisse α admet pour équation : 
. (0,75 point)
. (0,5 point)
et la droite 
. (0,75 point)
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Fonctions : généralités • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
Partie A
Puis utilisez la méthode de balayage ou de dichotomie avec une calculatrice.
.
Partie B
est 
avec 
.
PARTIE A
> 1. Étudier les variations d'une fonction sans utiliser la dérivée
- La fonction
est strictement croissante et strictement positive sur 
. La fonction ln étant strictement croissante sur 
, on en déduit que la fonction f est strictement croissante sur .
> 2. a) Étudier les variations d'une fonction avec sa dérivée
La fonction g est dérivable sur 
comme somme de deux fonctions dérivables sur 
.
Pour tout 
, 
.
La dérivée de 
est 
.
Pour tout réel x, 
, donc sur 
, 
a le signe du trinôme du second degré 
.
donc pour tout 
, 
.
est du signe du coefficient de 
.
Ainsi, pour tout 
, 
.
.
b) Étude d'une équation du type g(x) = 0
La fonction g est strictement décroissante sur 
, donc sur 
.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel dans l'intervalle 
tel que 
. On note α ce nombre.
Avec une calculatrice, on montre que 
et donc que α ≈ 2,2.
est 2,2.
, donc :
pour tout 
, 
soit 
pour tout 
, 
soit 
.
α est donc 
dans 
.
> 3. Démontrer qu'un nombre est solution d'une équation
Pour tout 
, 
.
Ainsi, l'équation 
est équivalente à l'équation 
, c'est-à-dire à l'équation 
.
D'après le résultat établi à la question précédente,
α est l'unique solution de l'équation 
dans 
.
On dit que A (α α) est un point fixe de la fonction f.
PARTIE B
> 1. Déterminer l'équation réduite d'une tangente à la courbe
a pour équation réduite 
avec 
et 
, ce qui donne :
soit : 
et donc 
.
