Variation, point fixe et tangente

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Variation, point fixe et tangente

Fonction logarithme népérien

Corrigé

19

Ens. spécifique

matT_1200_00_43C

Sujet inédit

Exercice • 5,5 points

On considère la fonction f définie sur par et on note C sa courbe représentative dans un repère du plan.

PARTIE A

Étude de l’équation f(x) =x

> 1. Sans calculer la dérivée de f, indiquer le sens de variation de f sur . (0,75 point)

> 2. Soit g la fonction définie sur par : .

a) Étudier le sens de variation de g sur . (0,5 point)

b) Démontrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle , que l’on notera α, puis donner la valeur arrondie au dixième de α. (1,25 point)

c) Montrer que α est l’unique solution de l’équation dans . (0,5 point)

> 3. Résoudre l’équation dans . (0,5 point)

PARTIE B

Étude de la tangente à une courbe en un point fixe

> 1. Démontrer que la tangente à la courbe C au point d’abscisse α admet pour équation : . (0,75 point)

> 2. Donner les arrondis au dixième du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine de la droite . (0,5 point)

> 3. Tracer la courbe C, la droite D d’équation et la droite . (0,75 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Fonctions : généralités • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Remarquez que la fonction f est la composée de deux fonctions usuelles. → fiche  C9B 

>  2. b)  Pensez au théorème des valeurs intermédiaires. fiche  C11 

Puis utilisez la méthode de balayage ou de dichotomie avec une calculatrice.

>  3. Remarquez que .

Partie B

>  1. L’équation réduite de est avec . → fiche  C8 

>  2. Utilisez l’arrondi de α obtenu dans la partie A.

Corrigé

PARTIE A

>1. Étudier les variations d’une fonction sans utiliser la dérivée

  • La fonction est strictement croissante et strictement positive sur . La fonction ln étant strictement croissante sur , on en déduit que la fonction f est strictement croissante sur .

>2.a) Étudier les variations d’une fonction avec sa dérivée

La fonction g est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur .

Pour tout ,
.

La dérivée de est .

Pour tout réel x, , donc sur , a le signe du trinôme du second degré .

 ;

donc pour tout , .

est du signe du coefficient de .

Ainsi, pour tout , .

La fonction g est donc strictement décroissante sur .

b) Étude d’une équation du type g(x) = 0

La fonction g est strictement décroissante sur , donc sur  ;

 ;  ;

.


D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel dans l’intervalle tel que . On note α ce nombre.

Avec une calculatrice, on montre que et donc que α ≈ 2,2.

La valeur arrondie de α à est 2,2.

c) La fonction g est strictement décroissante sur , donc :

pour tout , soit  ;

pour tout , soit .

α est donc l’unique solution de l’équation dans .

>3. Démontrer qu’un nombre est solution d’une équation

Pour tout , .

Ainsi, l’équation est équivalente à l’équation , c'est-à-dire à l’équation .

D’après le résultat établi à la question précédente,
α est l’unique solution de l’équation
dans .

On dit que A (α ; α) est un point fixe de la fonction f.

PARTIE B

>1. Déterminer l’équation réduite d’une tangente à la courbe

a pour équation réduite avec et , ce qui donne :

soit :

> 2.  et donc .

> 3.