Vente de billes en bois

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 1 • 6 points

Vente de billes en bois

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L’entreprise considère qu’une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d’établir les résultats suivants :

96 % de la production journalière est vendable ;

la machine A fournit 60 % de la production journalière ;

la proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98 %.

On choisit une bille au hasard dans la production d’un jour donné. On définit les événements suivants :

A : « la bille a été fabriquée par la machine A » ;

B : « la bille a été fabriquée par la machine B » ;

V : « la bille est vendable ».

▶ 1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.

▶ 2. Justifier que P(B  V) = 0,372 et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B.

▶ 3. Un technicien affirme que 70 % des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison ?

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.

▶ 1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance μ = 1 et d’écart type σ = 0, 055.

Vérifier que la probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.

▶ 2. De la même façon, le diamètre d’une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l’aide d’une variable aléatoire Y qui suit une loi normale d’espérance μ = 1 et d’écart type σ, σ étant un réel strictement positif.

Sachant que P(0,9  Y  1,1) = 0,98, déterminer une valeur approchée au millième de σ.

Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d’un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière.

Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.

▶ 1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.

a) On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat à 10–3 .

b) Dans un sachet de 40 billes, on a compté 12 billes noires. Ce constat permet-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?

 2. Si l’entreprise souhaite que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99 %, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Loi binomiale • Intervalle de fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré – Probabilités conditionnelles  E35 • E37  Partie A

Loi normale  E40a • E40d • E40e • C3 Partie B

Loi binomiale  E38a • E38b • E39 • C2 Partie C, 1. a) et 2.

Intervalle de fluctuation  E43  Partie C, 1. b)

Fonction logarithme népérien  E9b • E9e Partie C, 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 3. Déterminez la probabilité que la bille choisie provienne de la machine B sachant que cette bille n’est pas vendable.

Partie B

 2. Démontrez que P(0,9Y1,1)=0,98 est équivalent à

P(Y1,1)=0,99.

Partie C

 1. b) Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Corrigé

Corrigé

partie a

 1. Déterminer une probabilité

La machine A fournissant 60 % de la production journalière, la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit fabriquée par la machine A est de 0,6 ce qui se note P(A) = 0,6. Les autres billes étant fabriquées par la machine B, soit 40 % de la production journalière, la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit fabriquée par la machine B est de 0,4 ce qui se note P(B) = 0,4.

Parmi les billes fabriquées par la machine A, 98 % sont vendables. Par suite, la probabilité qu’une bille choisie au hasard soit vendable sachant que la bille a été fabriquée par la machine A est 0,98. Autrement dit, PA(V) = 0,98. Nous pouvons représenter la situation par l’arbre pondéré suivant dont les probabilités manquantes seront calculées ensuite :

matT_1606_02_01C_05

La probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A est la probabilité de la feuille AV. Or, P(AV)=P(A)×PA(V)=0,6×0,98=0,588.

La probabilité demandée est ainsi égale à 0,588.

 2. Déterminer une probabilité conditionnelle

Comme 96 % de la production journalière est vendable, la probabilité que l’événement V soit réalisé est 0,96 ce qui se note P(V) = 0,96. Or, l’événement V est associé à deux feuilles : AV et BV. Par la formule des probabilités totales, il en découle que : P(V)=P(AV)+P(BV).

Comme P(V) = 0,96 et P(AV)=0,588, nous avons : P(BV)=P(V)P(AV)=0,960,588=0,372.

La probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine B est ainsi égale à 0,372.

La probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu’elle provient de la machine B se note PB(V). Or, par définition d’une probabilité conditionnelle et comme P(B) = 0,4 ≠ 0, nous avons : PB(V)=P(BV)P(B)=0,3720,4=0,93.

La probabilité demandée est ainsi égale à 0,93.

 3. Confirmer/infirmer une opinion

Attention !

La somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud étant égale à 1, PB(V)+PB( V¯)=1 ce qui implique que PB( V¯)=10,93=0,07.

Déterminons la probabilité que la bille choisie provienne de la machine B sachant que cette bille n’est pas vendable, c’est-à-dire P V¯(B).

Comme P( V¯)=1P(V)=0,040, par définition d’une probabilité conditionnelle, nous avons :

PV¯(B)=P(BV¯)P(V¯)=P(B)×PB(V¯)P(V¯)=0,4×0,070,04=0,7.

Le technicien a raison sur la donnée numérique mais il serait plus juste de dire « 70 % des billes non vendables sont susceptibles de provenir de la machine B » pour noter le caractère probabiliste de cette donnée.

partie b

 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale

Notez bien

Calcul de P(aXb) avec X𝒩(μ;σ2).

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr : normalFRép(a,b,μ,σ).

Syntaxe pour la CASIO Graph 75 : NormCD(a,b,σ,μ).

La probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable se note : P(0,9X1,1).

À l’aide d’une calculatrice, nous avons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_02_01C_06

matT_1606_02_01C_07

La probabilité qu’une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près, à savoir 0,93.

 2. Déterminer une valeur approchée d’un écart type

D’après l’énoncé, P(0,9Y1,1)=0,98 ce qui s’écrit P(10,1Y1+0,1)=0,98.

Or, comme μ=1 et par symétrie de la densité d’une loi normale :P(0,9Y1)=P(1Y1,1).

Par les mêmes arguments, P(Y1)=0,5.

Il en découle que P(0,9Y1,1)=2×P(1Y1,1)=0,98 qui est équivalent à P(1Y1,1)=0,49 et par conséquent, P(Y1,1)=P(Y1)+P(1Y1,1)=0,99.

Nous avons :

P(Y1,1)=0,99P(Y1centrer1,11)=0,99P(Y1σréduire0,1σ)=0,99.

Or, comme la variable aléatoire Y suit la loi normale d’espérance 1 et d’écart type σ alors, par définition, la variable aléatoire YC=Y1σ suit la loi normale centrée réduite. Nous avons ainsi P(YC0,1σ)=0,99YC𝒩(0 ; 12).

Notez bien

Syntaxe pour la TI 83 + : 
FracNormale(aμσ) où μ=0 et σ=1.

Syntaxe pour la CASIO GRAPH 75 : InvNormCD(aσμ) où μ=0 et σ=1.

Résolvons alors l’équation P(YCa)=0,99a est un réel à déterminer et où YC suit la loi normale centrée réduite.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_02_01C_08

matT_1606_02_01C_09

Ainsi a2,3263.

Par identification, nous pouvons maintenant écrire que 0,1σ=a soit σ=0,1a0,043.

La valeur de σ, arrondie au millième, est 0,043.

partie c

 1. a) Déterminer une probabilité avec une loi binomiale

Notons N la variable aléatoire qui, à tout sachet de 40 billes choisies au hasard dans la production journalière, associe le nombre de billes noires. Choisir au hasard une bille est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la bille est noire » de probabilité p = 0,2 (5 choix de couleurs, choix équiprobables) et l’échec est « la bille n’est pas noire, à savoir blanche, bleue, jaune ou rouge » de probabilité q=1p=0,8. On répète 40 fois cette épreuve, les épreuves étant indépendantes et identiques (assimilation à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière). On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 40, N comptant le nombre de billes noires dans ce schéma. N suit alors la loi binomiale de paramètres n=40 et p=0,2. La probabilité demandée est P(N=10). À la calculatrice, nous obtenons :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_02_01C_10

matT_1606_02_01C_11

La probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires est environ 0,107.

b) Utiliser un intervalle de fluctuation et prendre une décision

La proportion p de billes noires est supposée être égale à 0,2. L’échantillon considéré ici est un sachet de 40 billes. La taille de notre échantillon est par suite n=40. Comme n=4030, n×p=40×0,2=85 et n×(1p)=40×0,8=325, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de billes noires dans un échantillon de taille 40 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n]  =[0,21,960,2×0,840 ; 0,2+1,960,2×0,840]  [0,076 ; 0,324].

La fréquence de billes noires dans le sachet de taille 40 est égale à f=1240=0,3.

Comme f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, ce constat ne permet pas, à partir du sachet considéré, de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes.

 2. Déterminer un paramètre sous contrainte

Désignons par N la variable aléatoire qui, à tout sachet de n billes, associe le nombre de billes noires. Contrairement à la question précédente, n n’est pas fixé à 40. Par contre, similairement à cette question, la variable aléatoire N suit la loi binomiale de paramètres n et p=0,2.

Notez bien

Pour tous réels a>0, b>0 et tout entier relatif n : ln(an)=nln(a) et a>bln(a)>ln(b).

La contrainte « la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99 % » s’écrit à l’aide de cette variable aléatoire de la manière suivante : P(N1)0,99. Or,

P(N1)0,991P(N=0)0,99(événement contraire)0,01P(N=0)0,01(1p)n (un seul chemin mène à 0 succès : n échecs successifs)0,010,8nln(0,01)ln(0,8n)ln(0,01)n×ln(0,8)ln(0,01)ln(0,8)n(ln(0,8)<0)

Comme ln(0,01)ln(0,8)20,7, le nombre minimal de billes que chaque sachet doit contenir pour atteindre l’objectif est 21.