Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.

Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. Après avoir observé un grand nombre d’appels de mademoiselle Z, on peut faire l’hypothèse suivante  :

• si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l’assurance à mademoiselle  Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux 
• si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), mademoiselle  Z se décourage et n’arrive à convaincre le client suivant qu’une fois sur cinq.

>  1.  a)  Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

b)  &Eacute crire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.

>  2.  Ce lundi, mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d’acheter le produit proposé. La matrice ligne décrivant l’état initial au premier appel est donc . Donner la matrice ligne P₁ exprimant l’état probabiliste au deuxième appel.

>  3.  On dit que la matrice M est diagonalisable s’il existe une matrice inversible Q et une matrice diagonale D telles que (&zwnj étant la matrice inverse de Q).

On donne , .

a)  Trouver la matrice inverse de la matrice Q.

b)  En déduire que la matrice M est diagonalisable.

>  4.  Démontrer par récurrence que, pour tout entier n naturel non nul,

et en déduire que .

>  5.  a)  Calculer la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.

b)  Quelle aurait été la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n’avait pas convaincu le premier  ?

>  6.  Déterminer l’état stable du système. Comment peut-on l’interpréter  ?