Ventes par téléphone

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Ventes par téléphone

Matrices et suites

Corrigé

49

Ens. de spécialité

matT_1200_00_30C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.

Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. Après avoir observé un grand nombre d’appels de mademoiselle Z, on peut faire l’hypothèse suivante :

  • si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l’assurance à mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux ;
  • si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), mademoiselle Z se décourage et n’arrive à convaincre le client suivant qu’une fois sur cinq.

>1.a) Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets A et B.

b) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.

>2. Ce lundi, mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client d’acheter le produit proposé. La matrice ligne décrivant l’état initial au premier appel est donc . Donner la matrice ligne P1 exprimant l’état probabiliste au deuxième appel.

>3. On dit que la matrice M est diagonalisable s’il existe une matrice inversible Q et une matrice diagonale D telles que (‌ étant la matrice inverse de Q).

On donne , .

a) Trouver la matrice inverse de la matrice Q.

b) En déduire que la matrice M est diagonalisable.

>4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n naturel non nul,

et en déduire que .

>5.a) Calculer la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client ce lundi.

b) Quelle aurait été la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client si elle n’avait pas convaincu le premier ?

>6. Déterminer l’état stable du système. Comment peut-on l’interpréter ?

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Calcul matriciel.

Les conseils du correcteur

>  2. Utilisez l’égalité .

>  3. a) Rappel important : une matrice carrée Q d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée R d’ordre n telle que In est la matrice unité d’ordre n. On note alors .

Commencez par poser et exploitez l’égalité matricielle .

b) Démontrez que .

>  4. À l’étape de l’hérédité, partez de l’hypothèse matricielle de récurrence en remarquant dans un premier temps que et dans un deuxième temps que . Pour calculer , notez que . Menez ensuite successivement les produits matriciels et . Concluez.

>  5. a) En utilisant le résultat établi à la question précédente, calculez puis le produit . Interprétez le résultat obtenu.

b) Procédez de la même manière en utilisant .

>  6. Le graphe probabiliste d’ordre 2 a une matrice de transition M ne comportant pas de 0.

L’état à l’étape n converge donc vers un état P indépendant de l’état initial , P étant l’unique solution de l’équation et a +b= 1. Résolvez le système à deux inconnues sous-jacent avant de conclure.

Corrigé

>1.a) Traduire un énoncé par un graphe probabiliste


b) Écrire la matrice associée à un graphe probabiliste

La matrice associée au graphe probabiliste étudié est donnée par :

>2. Donner la matrice ligne traduisant un état probabiliste

On a .

D’où et pour finir

>3.a) Donner la matrice inverse d’une matrice inversible

Soit a, b, c et d quatre réels tels que .

Ce qui implique l’égalité matricielle suivante :

.

Résolvons ainsi le système sous-jacent :

La matrice inverse de la matrice inversible Q est donc

b) Démontrer qu’une matrice est diagonalisable

Calculons le produit matriciel et procédons par étapes.

On a tout d’abord

puis

On en conclut que .

Il s’ensuit d’après la définition donnée que la matrice M est bien diagonalisable.

>4. Démontrer une égalité matricielle en menant un raisonnement par récurrence

Soit la proposition .

Initialisation 

On a déjà montré que .

est donc vraie

Hérédité

Soit k un entier naturel non nul.

Supposons que soit vraie.

On a donc par hypothèse de récurrence .

Ainsi, .
Or , il s’ensuit que

avec .

étant la matrice inverse de , on a donc . I étant l’identité des matrices d’ordre 2.

Par conséquent, on en déduit les égalités matricielles suivantes :

et .

est donc vraie.

D’après l’axiome de récurrence, la proposition est vraie quel que soit l’entier naturel non nul n.

Ainsi, pour tout entier naturel n non nul,

étant une matrice diagonale, on peut donc écrire que .

On a successivement les égalités matricielles suivantes :

et, pour finir,

>5.a) Calculer une probabilité en utilisant le calcul matriciel

On a, d’après le résultat établi à la question précédente, .

On obtient :

et donc

La probabilité que mademoiselle Z arrive à convaincre son sixième client ce lundi est égale à .

b) Calculer une probabilité en utilisant le calcul matriciel

Si mademoiselle Z n’avait pas convaincu son premier client, on aurait eu comme état initial . Il s’ensuit l’égalité suivante : et donc .

Dans ce cas-là, la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client est égale à .

>6. Déterminer l’état stable d’un système et l’interpréter

Le graphe probabiliste d’ordre 2 a une matrice de transition M ne comportant pas de 0.

L’état à l’étape n converge vers un état P indépendant de l’état
initial .

P étant l’unique solution de l’équation et a+b= 1, on obtient :

.

L’état stable du système étudié est Que mademoiselle Z ait convaincu ou non son premier client, la probabilité de convaincre son n-ième client se stabilise à , lorsque n devient très grand.