Matrices et suites
Corrigé
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Ens. de spécialité
matT_1200_00_30C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.
Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. Après avoir observé un grand nombre d'appels de mademoiselle Z, on peut faire l'hypothèse suivante :
- si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l'assurance à mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux
- si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), mademoiselle Z se décourage et n'arrive à convaincre le client suivant qu'une fois sur cinq.
. Donner la matrice ligne P1 exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.
(
étant la matrice inverse de Q).
On donne 
, 
.
de la matrice Q.
et en déduire que 
.
Durée conseillée : 50 min.
Le thème en jeu
Calcul matriciel.
Les conseils du correcteur
.
où In est la matrice unité d'ordre n. On note alors 
.
Commencez par poser 
et exploitez l'égalité matricielle 
.
.
en remarquant dans un premier temps que 
et dans un deuxième temps que 
. Pour calculer 
, notez que 
. Menez ensuite successivement les produits matriciels 
et 
. Concluez.
puis le produit 
. Interprétez le résultat obtenu.
.
L'état 
à l'étape n converge donc vers un état P indépendant de l'état initial 
, P étant l'unique solution de l'équation 
où 
et a
> 1. a) Traduire un énoncé par un graphe probabiliste
b) Écrire la matrice associée à un graphe probabiliste
La matrice associée au graphe probabiliste étudié est donnée par : 
> 2. Donner la matrice ligne traduisant un état probabiliste
On a 
.
D'où 
et pour finir 
> 3. a) Donner la matrice inverse d'une matrice inversible
Soit a, b, c et d quatre réels tels que 
.
Ce qui implique l'égalité matricielle suivante :
.
Résolvons ainsi le système sous-jacent :
La matrice inverse 
de la matrice inversible Q est donc
b) Démontrer qu'une matrice est diagonalisable
Calculons le produit matriciel 
et procédons par étapes.
On a tout d'abord 
puis 
On en conclut que 
.
Il s'ensuit d'après la définition donnée que
> 4. Démontrer une égalité matricielle en menant un raisonnement par récurrence
Soit 
la proposition 
.
Initialisation
On a déjà montré que 
.
est donc vraie
Hérédité
Soit k un entier naturel non nul.
Supposons que 
soit vraie.
On a donc par hypothèse de récurrence 
.
Ainsi, 
.
Or 
, il s'ensuit que 
avec 
.
étant la matrice inverse de 
, on a donc 
. I étant l'identité des matrices d'ordre 2.
Par conséquent, on en déduit les égalités matricielles suivantes :
et 
.
est donc vraie.
D'après l'axiome de récurrence, la proposition 
est vraie quel que soit l'entier naturel non nul n.
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, 
étant une matrice diagonale, on peut donc écrire que 
.
On a successivement les égalités matricielles suivantes :
et, pour finir,
> 5. a) Calculer une probabilité en utilisant le calcul matriciel
On a, d'après le résultat établi à la question précédente, 
.
On obtient :
et donc 
La probabilité que mademoiselle Z arrive à convaincre son sixième client ce lundi est égale à 
.
b) Calculer une probabilité en utilisant le calcul matriciel
Si mademoiselle Z n'avait pas convaincu son premier client, on aurait eu comme état initial 
. Il s'ensuit l'égalité suivante : 
et donc 
.
Dans ce cas-là, la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client est égale à 
.
> 6. Déterminer l'état stable d'un système et l'interpréter
Le graphe probabiliste d'ordre 2 a une matrice de transition M ne comportant pas de 0.
L'état 
à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état
initial 
.
P étant l'unique solution de l'équation 
où 
et a
.
L'état stable du système étudié est 
Que mademoiselle Z ait convaincu ou non son premier client, la probabilité de convaincre son n-ième client se stabilise à 
, lorsque n devient très grand.