Matrices et suites
Corrigé
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Ens. de spécialité
matT_1200_00_30C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.
Chaque jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier. Après avoir observé un grand nombre d'appels de mademoiselle Z, on peut faire l'hypothèse suivante :
- si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l'assurance à mademoiselle Z et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux
- si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B), mademoiselle Z se décourage et n'arrive à convaincre le client suivant qu'une fois sur cinq.
. Donner la matrice ligne P1 exprimant l'état probabiliste au deuxième appel.
(
étant la matrice inverse de Q).
de la matrice Q.
Durée conseillée : 50 min.
Le thème en jeu
Calcul matriciel.
Les conseils du correcteur
où In est la matrice unité d'ordre n. On note alors
.
Commencez par poser et exploitez l'égalité matricielle
.
en remarquant dans un premier temps que
et dans un deuxième temps que
. Pour calculer
, notez que
. Menez ensuite successivement les produits matriciels
et
. Concluez.
puis le produit
. Interprétez le résultat obtenu.
.
L'état à l'étape n converge donc vers un état P indépendant de l'état initial
, P étant l'unique solution de l'équation
où
et a
> 1. a) Traduire un énoncé par un graphe probabiliste

b) Écrire la matrice associée à un graphe probabiliste
> 2. Donner la matrice ligne traduisant un état probabiliste
> 3. a) Donner la matrice inverse d'une matrice inversible
Soit a, b, c et d quatre réels tels que .
Ce qui implique l'égalité matricielle suivante :
Résolvons ainsi le système sous-jacent :
b) Démontrer qu'une matrice est diagonalisable
Calculons le produit matriciel et procédons par étapes.
Il s'ensuit d'après la définition donnée que
> 4. Démontrer une égalité matricielle en menant un raisonnement par récurrence
Par conséquent, on en déduit les égalités matricielles suivantes :
D'après l'axiome de récurrence, la proposition est vraie quel que soit l'entier naturel non nul n.
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul,
étant une matrice diagonale, on peut donc écrire que
.
On a successivement les égalités matricielles suivantes :
et, pour finir,
> 5. a) Calculer une probabilité en utilisant le calcul matriciel
On a, d'après le résultat établi à la question précédente, .
On obtient :
La probabilité que mademoiselle Z arrive à convaincre son sixième client ce lundi est égale à .
b) Calculer une probabilité en utilisant le calcul matriciel
Si mademoiselle Z n'avait pas convaincu son premier client, on aurait eu comme état initial . Il s'ensuit l'égalité suivante :
et donc
.
Dans ce cas-là, la probabilité que mademoiselle Z convainque son sixième client est égale à .
> 6. Déterminer l'état stable d'un système et l'interpréter
Le graphe probabiliste d'ordre 2 a une matrice de transition M ne comportant pas de 0.
L'état à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état
initial .
P étant l'unique solution de l'équation où
et a
L'état stable du système étudié est Que mademoiselle Z ait convaincu ou non son premier client, la probabilité de convaincre son n-ième client se stabilise à
, lorsque n devient très grand.