Partie A

▶ 1. a) Préciser une probabilité

Par lecture de l'énoncé, la probabilité de l'événement $\text{G}$ est $\mathrm{0,20}.$

b) Compléter un arbre pondéré

Comme 40 % de la population est vaccinée, la probabilité $P\left(\text{V}\right)$de l'événement V vaut 0,40. Par suite, on a : $P\left(\overline{\text{V}}\right)=1-P\left(\text{V}\right)=1-\mathrm{0,40}=\mathrm{0,60}.$

Comme 8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe, la probabilité de l'événement G sachant que l'événement V est réalisé, à savoir $P_{\text{V}}\left(\text{G}\right)$, vaut 0,08.

Il vient $P_{\text{V}}\left(\overline{\text{G}}\right)=1-P_{\text{V}}\left(\text{G}\right)=1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}.$

En complétant les pointillés indiqués sur quatre des branches de l'arbre pondéré donné, on a :

▶ 2. Déterminer une probabilité à partir d'un arbre

La probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et qu'elle soit vaccinée se note$P(\text{V}\cap \text{G)}.$ D'après la question précédente, on a :

$P(\text{V}\cap \text{G})=P\left(\text{V}\right)\times P_{\text{V}}\left(\text{G}\right)=\mathrm{0,40}\times \mathrm{0,08}=0,032$.

▶ 3. Déterminer une probabilité conditionnelle

La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe sachant que la personne n'est pas vaccinée. Elle se note $P_{\overline{\text{V}}}\left(\text{G}\right)$ et par définition, elle est donnée par : $P_{\overline{\text{V}}}(\text{G})=\frac{P(\overline{\text{V}}\cap \text{G})}{P(\overline{\text{V}})}.$ Par la formule des probabilités totales et en utilisant les réponses aux trois questions précédentes, on a :

$\begin{array}{l}P(\text{G})=P(\text{V}\cap \text{G})+P(\overline{\text{V}}\cap \text{G})\iff \mathrm{0,20}=\mathrm{0,032}+P(\overline{\text{V}}\cap \text{G})\\ \iff P(\overline{\text{V}}\cap \text{G})=\mathrm{0,168}.\end{array}$

On en conclut que : $P_{\overline{\text{V}}}\left(\text{G}\right)=\frac{\mathrm{0,168}}{\mathrm{0,60}}=\frac{168}{600}=\frac{7}{25}=0,28$.

Partie B

▶ 1. Préciser la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire

Interroger un habitant de cette ville est une épreuve de Bernoulli qui admet ici deux issues :

« l'habitant est vacciné » de probabilité 0,4 ;

« l'habitant n'est pas vacciné » de probabilité 1 – 0,4 = 0,6.

Comme il est admis que le choix de n habitants de cette ville se ramène à n tirages successifs indépendants et avec remise, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et 0,4.

▶ 2. a) Déterminer une probabilité dans le cadre d'une loi binomiale

La probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées se traduit à l'aide de la variable aléatoire X par $P\left(X=40\right).$ À l'aide de la calculatrice, on a :

Cette probabilité, arrondie à ${10}^{-3}$, vaut 0,123.

b) Déterminer une probabilité dans le cadre d'une loi binomiale

La probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée se traduit à l'aide de la variable aléatoire X par $P\left(X\ge 20\right).$ Or, les événements $\left\{X\ge 20\right\}$ et $\left\{X\le 19\right\}$ sont contraires l'un de l'autre. Par conséquent, $P\left(X\ge 20\right)=1-P\left(X\le 19\right).$

À l'aide de la calculatrice, on a :

Cette probabilité, arrondie à ${10}^{-3}$, vaut 0,130.