Virus de la grippe !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Succession d’épreuves indépendantes

Virus de la grippe !

40 min

4 points

Intérêt du sujet  Cet exercice utilise les probabilités conditionnelles et la loi binomiale pour s’intéresser à la prévalence de la grippe dans une population partiellement vaccinée.

 

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.

La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

40 % de la population est vaccinée ;

8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;

20 % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

V : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;

G : « la personne a contracté la grippe ».

1. a) Donner la probabilité de l’événement G.

b) Reproduire l’arbre pondéré ci-après et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.

matT_1806_07_01C_03

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à 0,28.

Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à 10–3 près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.

Après la période hivernale, on interroge au hasard n habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à n tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à 0,4.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

2. Dans cette question, on suppose que n = 40.

a) Déterminer la probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.

b) Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.

Les clés du sujet

Partie A

3. Constatez que la probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle. Puis calculez la probabilité de l’événement GV¯ en utilisant la formule des probabilités totales. Concluez.