Antilles, Guyane • Septembre 2014
Exercice 4 • 4 points
Visioconférences et amortissement du coût d'installation des appareils
En 2008, une entreprise internationale s'est dotée d'un centre de visioconférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».
Lors d'un conseil d'administration de fin d'année, le responsable du centre de visioconférence fait le compte rendu suivant : « On a observé un fort accroissement de l'utilisation de cette technologie, le nombre de visioconférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20 % tous les ans. »
▶ 1. On s'intéresse au nombre d'utilisations de la visioconférence lors de l'année 
. On modélise la situation par une suite géométrique 
où le terme 
est une estimation de ce nombre d'utilisations lors de l'année 
.
a) Donner la raison 
et le premier terme 
de cette suite. (0,5 point)
b) Donner l'expression de 
en fonction de 
. (0,5 point)
c) Vérifier qu'en 2013, on a atteint 74 utilisations de la visioconférence. (0,5 point)
▶ 2. On considère l'algorithme suivant :
| Variables : Entrée : Traitement : | n est un nombre entier naturel U et A sont des nombres réels Saisir A Affecter à U la valeur 30 Affecter à n la valeur 0 Tant que U A faire | |
|
| ||
| Sortie : | Fin Tant que Afficher | |
prend la valeur 
prend la valeur 
a) On donne la valeur 100 à 
. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les valeurs de 
seront données approchées par défaut à l'entier près. (1 point)
| Test U A | vrai | ……………….. | ||
| Valeur de U | 30 | 36 | ……………….. | |
| Valeur de n | 0 | 1 | ……………….. |
b) Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ? (0,5 point)
c) Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème. (0,5 point)
▶ 3. Le coût de l'installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400.
À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. (0,5 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien
Les conseils du correcteur
▶ 1. a) Une quantité qui augmente de 20 % est multipliée par 1,2.
b) Utilisez le résultat du cours donnant l'expression du terme général d'une suite géométrique.
▶ 2. a) N'oubliez pas à chaque étape de comparer à 100 la valeur de 
obtenue dès que cette valeur est supérieure ou égale à 100, on sort de la boucle « Tant que ».
▶ 3. Utilisez la formule donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique, puis la fonction logarithme népérien.
Corrigé
▶ 1. 
est une estimation du nombre d'utilisations de la visioconférence lors de l'année 
.
a) Donner la raison et le premier terme d'une suite géométrique
On sait que, chaque année, le nombre d'utilisations de la visioconférence augmente de 20 %. On en déduit que, pour tout entier naturel 
, 
.
est donc une suite géométrique de raison 1,2.
En 2008, il y avait 30 utilisations de la visioconférence, donc son premier terme est :
b) Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique
Puisque 
est la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme 
, pour tout entier naturel 
:
c) Calculer un terme d'une suite géométrique
, donc le nombre d'utilisations de la visioconférence en 2013 est 
.
D'après les questions précédentes : 
.
Donc, en 2013, on a atteint (et même dépassé) 74 utilisations de la visioconférence.
▶ 2. a) Dresser un tableau d'étapes du fonctionnement d'un algorithme
les valeurs de 
sont données approchées par défaut à l'entier près.
| Test U A | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | vrai | faux | |
| Valeur de U | 30 | 36 | 43 | 52 | 62 | 75 | 90 | 107 | |
| Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
b) Déterminer la valeur affichée en sortie d'un algorithme
D'après le tableau précédent, la valeur affichée en sortie de cet algorithme est 7.
c) Interpréter la valeur affichée en sortie d'un algorithme
La valeur précédente signifie que le nombre annuel d'utilisations de la visioconférence dépassera 100 pour la première fois en 
, c'est-à-dire en 2015.
▶ 3. Déterminer le rang à partir duquel la somme des premiers termes d'une suite géométrique dépasse une valeur donnée
On sait que le coût de l'installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d'utilisations aura dépassé 400. On cherche donc 
tel que :
.
D'après la formule du cours donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique, en fonction du premier terme 
et de la raison 
de cette suite :
.
L'inéquation à résoudre est donc 
, soit
.
Elle équivaut à 
.
Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 
, l'inéquation précédente est équivalente à :
.
Or 
, donc l'inéquation équivaut à 
, soit 
.
, donc l'installation sera amortie à partir de 2015.