Visioconférences et amortissement du coût d'installation des appareils

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane

 

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 4 • 4 points

Visioconférences et amortissement du coût d’installation des appareils

En 2008, une entreprise internationale s’est dotée d’un centre de visioconférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».

Lors d’un conseil d’administration de fin d’année, le responsable du centre de visioconférence fait le compte rendu suivant : « On a observé un fort accroissement de l’utilisation de cette technologie, le nombre de visioconférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20 % tous les ans. »

1. On s’intéresse au nombre d’utilisations de la visioconférence lors de l’année 125717-Eqn56. On modélise la situation par une suite géométrique 125717-Eqn57 où le terme 125717-Eqn58 est une estimation de ce nombre d’utilisations lors de l’année 125717-Eqn59.

a) Donner la raison 125717-Eqn60 et le premier terme 125717-Eqn61 de cette suite. (0,5 point)

b) Donner l’expression de 125717-Eqn62 en fonction de 125717-Eqn63. (0,5 point)

c) Vérifier qu’en 2013, on a atteint 74 utilisations de la visioconférence. (0,5 point)

2. On considère l’algorithme suivant :

Variables :

Entrée :

Traitement :

n est un nombre entier naturel

U et A sont des nombres réels

Saisir A

Affecter à U la valeur 30

Affecter à n la valeur 0

Tant que U < A faire

   

125717-Eqn71 prend la valeur 125717-Eqn73

125717-Eqn72 prend la valeur 125717-Eqn74

Sortie :

Fin Tant que

Afficher 125717-Eqn75

a) On donne la valeur 100 à 125717-Eqn76. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les valeurs de 125717-Eqn77 seront données approchées par défaut à l’entier près. (1 point)

Test U < A

 

vrai

 

………………..

Valeur de U

30

36

 

………………..

Valeur de n

0

1

 

………………..

b) Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ? (0,5 point)

c) Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème. (0,5 point)

3. Le coût de l’installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400.

À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 35 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien

Les conseils du correcteur

1. a) Une quantité qui augmente de 20 % est multipliée par 1,2.

b) Utilisez le résultat du cours donnant l’expression du terme général d’une suite géométrique.

2. a) N’oubliez pas à chaque étape de comparer à 100 la valeur de 125717-Eqn92 obtenue ; dès que cette valeur est supérieure ou égale à 100, on sort de la boucle « Tant que ».

3. Utilisez la formule donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique, puis la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Corrigé

1. 125717-Eqn225 est une estimation du nombre d’utilisations de la visioconférence lors de l’année 125717-Eqn226.

a) Donner la raison et le premier terme d’une suite géométrique

On sait que, chaque année, le nombre d’utilisations de la visioconférence augmente de 20 %. On en déduit que, pour tout entier naturel 125717-Eqn227, 125717-Eqn228.

125717-Eqn229 est donc une suite géométrique de raison 1,2.

En 2008, il y avait 30 utilisations de la visioconférence, donc son premier terme est :

125717-Eqn230

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

Puisque 125717-Eqn231 est la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme 125717-Eqn232, pour tout entier naturel 125717-Eqn233 :

125717-Eqn234

c) Calculer un terme d’une suite géométrique

125717-Eqn235, donc le nombre d’utilisations de la visioconférence en 2013 est 125717-Eqn236.

D’après les questions précédentes : 125717-Eqn237.

Donc, en 2013, on a atteint (et même dépassé) 74 utilisations de la visioconférence.

2. a) Dresser un tableau d’étapes du fonctionnement d’un algorithme

125717-Eqn238 ; les valeurs de 125717-Eqn239 sont données approchées par défaut à l’entier près.

Test U < A

 

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

Valeur de U

30

36

43

52

62

75

90

107

 

Valeur de n

0

1

2

3

4

5

6

7

 

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après le tableau précédent, la valeur affichée en sortie de cet algorithme est 7.

c) Interpréter la valeur affichée en sortie d’un algorithme

La valeur précédente signifie que le nombre annuel d’utilisations de la visioconférence dépassera 100 pour la première fois en 125717-Eqn243, c’est-à-dire en 2015.

3. Déterminer le rang à partir duquel la somme des premiers termes d’une suite géométrique dépasse une valeur donnée

On sait que le coût de l’installation des appareils de visioconférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400. On cherche donc 125717-Eqn244 tel que :

125717-Eqn245.

D’après la formule du cours donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique, en fonction du premier terme 125717-Eqn246 et de la raison 125717-Eqn247 de cette suite :

125717-Eqn248.

L’inéquation à résoudre est donc 125717-Eqn249, soit

125717-Eqn250.

Elle équivaut à 125717-Eqn251.

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur 125717-Eqn252, l’inéquation précédente est équivalente à :

125717-Eqn253

125717-Eqn254.

Or 125717-Eqn255, donc l’inéquation équivaut à 125717-Eqn256, soit 125717-Eqn257.

125717-Eqn258, donc l’installation sera amortie à partir de 2015.