GÉOMÉTRIE
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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mat3_1809_07_06C
France métropolitaine • Septembre 2018
Exercice 7 • 12 points
Vitesse ascensionnelle
Pour la course à pied en montagne, certains sportifs mesurent leur performance par la vitesse ascensionnelle, notée Va.
Va est le quotient du dénivelé de la course, exprimé en mètres, par la durée, exprimée en heures.
Par exemple : pour un dénivelé de 4 500 m et une durée de parcours de 3 h : Va = 1 500 m/h.
Rappel : le dénivelé de la course est la différence entre l'altitude à l'arrivée et l'altitude au départ.
Un coureur de haut niveau souhaite atteindre une vitesse ascensionnelle d'au moins 1 400 m/h lors de sa prochaine course.
La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.
Le parcours se décompose en deux étapes (voir figure ci-dessus) :
Première étape de 3 800 m pour un déplacement horizontal de 3 790 m.
Seconde étape de 4,1 km avec un angle de pente d'environ 12°.
▶ 1. Vérifier que le dénivelé de la première étape est environ 275,5 m.
▶ 2. Quel est le dénivelé de la seconde étape ?
▶ 3. Depuis le départ, le coureur met 48 minutes pour arriver au sommet. Le coureur atteint-il son objectif ?
Les clés du sujet
Points du programme
Théorème de Pythagore • Trigonométrie.
Nos coups de pouce
▶ 1. Applique le théorème de Pythagore au triangle DEF rectangle en E.
▶ 2. Calcule dans le triangle FGH rectangle en G.
▶ 3. Utilise la relation donnant la vitesse ascensionnelle , où d représente le dénivelé total parcouru, t le temps mis pour le parcourir.
Corrigé
▶ 1. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle DEF rectangle en E.
EF2 + ED2 = DF2 ou encore EF2 = DF2 – ED2.
Alors EF2 = 3 8002 – 3 7902 = 75 900.
EF = soit
▶ 2. Le dénivelé de la deuxième étape est la distance GH. Dans le triangle GFH rectangle en G, nous avons . Alors GH = FH × et GH = 4 100 × sin 12°.
valeur arrondie au dixième de mètre.
▶ 3. Le temps mis par le coureur pour arriver au sommet est de 48 minutes soit h ou encore 0,8 h.
Par définition
L'objectif était d'atteindre une vitesse ascensionnelle d'au moins 1 400 m/h. Cet objectif est donc réalisé.